Álgebra de conjuntos

El álgebra de conjuntos define las operaciones, reglas y propiedades que podemos aplicar con los conjuntos.

Tabla de contenidos

Conjunto: Un conjunto cualesquiera la nombraremos con una letra mayúscula: $A, B, C, ..., X, Y, Z \,$
Conjunto universal: Que contiene a todos los conjuntos de los que estemos tratando, lo nombraremos con la letra u mayúscula: $U \,$
Conjunto vacío: Que es el conjunto que no tiene ningún elemento, lo nombraremos con: $\varnothing \,$

Unión de conjuntos $(A \cup B)$ : La unión de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
Intersección de conjuntos $(A \cap B)$ : La intersección de 2 conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen tanto a A como a B.
Complemento de un conjunto $A^C \,$ : Es el conjunto formado por les elementos que no pertenecen a A.
Diferencia de conjuntos o complemento relativo $(A-B) \,$ : La diferencia de A y B, es el conjunto de todos los elementos de A que no pertenecen a su vez a B.

Idempotencia o igual potencia:
- $A \cup A = A$
- $A \cap A = A$
Asociativa:
- $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) = A \cup B \cup C$
- $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) = A \cap B \cap C$
Conmutativa:
- $A \cup B = B \cup A$
- $A \cap B = B \cap A$
Distributiva:
- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
- $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
Leyes de Identidad:
- $A \cup U = U$
- $A \cap U = A$
Conjunto Vacio:
- $A \cup \varnothing = A$
- $A \cap \varnothing = \varnothing$
Complementariedad:
- $A \cup A^C = U$
- $A \cap A^C = \varnothing$
- $U^C = \varnothing$
- $\varnothing^C = U$
Involutiva:
- ${(A^C)}^C = A$
Ley de Morgan:
- $(A \cup B)^C = A^C \cap B^C$
- ${(A \cap B)}^C = A^C \cup B^C$
Para cualquier conjunto A y B
- $A = (A \cap B) \cup (A \cap B^C)$