Anillo (matemática)

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1 Definición

En álgebra, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto y dos operaciones que están relacionadas entre sí mediante la propiedad distributiva, de manera que generalizan la noción de número, especialmente en el sentido de su "operabilidad".

[editar] Definición

Sea $A$ un conjunto. Supongamos que existen dos operaciones binarias definidas +, . sobre $A$ que llamaremos suma y multiplicación. Supongamos que dichas operaciones cumplen con

La suma es conmutativa: para todo par de elementos $a$ , $b$ en $A$

$a + b = b + a.\,$
En el conjunto $A$ existe un elemento neutro para la suma, que se denota con 0

$a + 0 = a.\,$
Existencia de inverso aditivo: para cada elemento a en $A$ existe otro elemento $- a$ que cumple

$a + (-a) = 0.\,$
La suma es asociativa: para todo trío de elementos $a$ , $b$ , $c$ en $A$

$a + (b + c) = (a + b) + c.\,$
El producto es asociativo: para todo trío de elementos $a$ , $b$ , $c$ en en $A$

$a\cdot(b\cdot c) = (a\cdot b).\cdot c$
El producto es distributivo respecto de la suma

$\begin{align} a \cdot(b + c) &= a\cdot b + a\cdot c,\\ (b + c)\cdot a &= b\cdot a + c\cdot a. \end{align}$
Elemento neutro para el producto, denotado por 1, con las propiedades

$1\ne0;\qquad\forall a\in A,\quad 1\cdot a = a \cdot 1 = a.$

Entonces se dice que la terna $(A,\ +,\ \cdot)$ forma un anillo^[1]. Pedir que $1 \ne 0$ evita que el anillo sea trivial (conste sólamente del elemento 0). Al elemento 1 también se lo suele llamar unidad multiplicativa.

Cuando una terna $(A,\ +,\ \cdot)$ , sólo satisface las primeras seis propiedades, se dice que forma un pseudo-anillo. Sin embargo, hay autores que definen los anillos, como aquellos que satisfacen estas seis propiedades y a los anillos que cumplen con la séptima propiedad los llaman anillos con unidad.

Si $n$ es un entero mayor que uno, el conjunto de las matrices cuadradas $n\times n$ cuyas entradas son números reales, junto con la suma de matrices y el producto de matrices, es un ejemplo de anillo. La matriz nula juega el papel del elemento 0 y la matriz que sólo tiene unos en la diagonal principal y sus otras entradas son nulas, juega el papel del elemento 1 en el anillo.

[editar] Centro de un anillo

Se dice que dos elementos $a$ y $b$ de un anillo conmutan si

$a\cdot b = b\cdot a$

El centro de un anillo es el conjunto de elementos $a$ del anillo que conmutan con todo otro elemento del anillo y se lo suele denotar con $Z (A)$ . Esto es

$Z(A) = \{a\in A\;|\;\forall x\in A,\ a\cdot x = x\cdot a.\}$

La definición también tiene sentido si en todos los lugares donde aparece la palabra anillo se la sustituye por pseudoanillo.

[editar] Anillos Conmutativos

Se dice que un anillo (o pseudoanillo) $A$ es conmutativo si $A = Z (A)$ . El ejemplo más sencillo de anillo conmutativo es el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ , junto con las operaciones de suma y multiplicación de enteros^[2].

[editar] Dominio de integridad

Artículo principal: Dominio de integridad

Supóngase que en un anillo conmutativo, siempre que

$c\ne 0\quad \mathrm{y}\quad a\cdot c = b\cdot c,\quad \mathrm{implica}\quad a = b,$

entonces se dice que el anillo es un dominio de integridad^[3].

El conjunto de los números naturales es un dominio de integriadad, no así, el conjunto de funciones reales definidas sobre un intervalo.

[editar] Inverso Multiplicativo

Sea ( $A$ , +, .) un anillo. Supongamos que existe un par de elementos $a$ y $b$ en $A$ que cumplen

$a\cdot b = 1.$

Se dice que $a$ es el inverso multiplicativo por la izquierda (o simplemente inverso a la izquierda) de $b$ . De manera similar, se dice que $b$ es el inverso multiplicativo por la derecha (o simplemente inverso a la derecha) de $a$ .

Si ocurre que

$a\cdot b = b\cdot a = 1.$

se dice que $a$ y $b$ son uno inverso del otro. A veces se escribe $b = a - 1$ para resaltar el hecho de que $b$ es el inverso (multiplicativo) de $a$ .