Axiomas de Zermelo-Fraenkel

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Durante el siglo XIX algunos matemáticos trataron de llevar a cabo un proceso de formalizacíon de la matemática a partir de la teoría de conjuntos. Gottlob Frege intentó culminar este proceso creando una axiomática de la teoría de conjuntos. Lamentablemente, Bertrand Russell descubrió en 1901 una contradicción, la llamada Paradoja de Russell. A partir de ese evento surgen distintos intentos, siendo hoy el más aceptado los denominados Axiomas de Zermelo-Fraenkel, formulados por Ernst Zermelo y Adolf Fraenkel, habitualmente referidos como ZFC.

Tabla de contenidos

1 La necesidad de axiomatizar la teoría de conjuntos
2 Los axiomas de Zermelo-Fraenkel
- 2.1 Sobre los axiomas y algunas definiciones en ZF
3 Otras propiedades de ZFC
4 Véase también

[editar] La necesidad de axiomatizar la teoría de conjuntos

En la teoría de Cantor, es posible formar un conjunto a partir de una propiedad determinada que deben cumplir sus elementos. En otras palabras, dada cualquier propiedad

P

, existe un conjunto

x

cuyos elementos son precisamente los objetos a que verifican

P (a)

. En símbolos, este conjunto se representa por

$\{a\mid p(a)\}.$

Así, por ejemplo, considerando la fórmula $a = a$ , se obtiene el conjunto

$V=\{a\mid a=a\},$

que claramente lo contiene todo. A este conjunto no se pueden aplicar alguno de los resultados de Cantor, ya que conduce a ciertas paradojas.

Como otro ejemplo más claro de conjuntos contradictorios debido a su 'gran tamaño', esta el que da lugar a la paradoja de Russell. Consideremos el conjunto

x

cuyos elementos son aquellos conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Esto es, el conjunto

$x=\{a\mid a\notin a\}.$

La paradoja de Russell surje al preguntarse: es

x

un elemento de sí mismo? Si lo es, es decir, si $x\in x$ , entonces

x

no satisface la condición $x\notin x$ , lo que es una contradicción. Si $x\notin x$ , entonces

x

satisface la condición para ser uno de sus elementos, y así $x\in x$ , de nuevo una contradicción. Así,

x

no puede ni ser un elemento de sí mismo ni no serlo.

En un intento de eliminar esta paradoja, Russell y Whitehead desarrollaron la teoría de tipos y la expusieron en un libro titulado Principia Mathemetica. Si bien esta teoría eliminaba la paradoja de Russell, resultaba demasiado complicada como para poseer interés. La teoría de conjuntos de Zermelo, mucho más simple a nivel lógico, lograba eliminar tanto la paradoja de Russell como todas las demás que surgían en el sistema de Cantor y en el de Frege.

[editar] Los axiomas de Zermelo-Fraenkel

La teoría de conjuntos de Zeremelo Fraenkel consiste de los nueve axiomas siguientes:

Axioma de extensionalidad. Dos conjuntos $x$ e $y$ son iguales (lo que se representa por $x = y$ ) si y solo si contienen los mismos elementos. Más formalmente, y en la simbología usual,

$\forall a (a\in x\ \leftrightarrow\ a\in y)\ \rightarrow x=y$

Conjunto vacío. Existe un conjunto (representado por Ø) sin elementos. Esto es,

$\exists\empty\forall a (a\notin\empty)$

Axioma de pares. Dados cualesquiera conjuntos $x$ e $y$ , existe otro conjunto, representado por ${x, y}$ , cuyos elementos son únicamente $x$ e $y$ . Esto es,

$\forall x,y\exists z\forall a (a\in z\ \leftrightarrow\ a=x\vee a=y).$

Axioma de la unión. Dada cualquier colección (conjunto) de conjuntos $C$ , existe un conjunto, representado por $\bigcup C$ y llamado unión de $C$ , que contiene todos los elementos de cada conjunto de $C$ . Esto es,

$\forall x\exists y\forall a (a\in y\ \leftrightarrow\ \exists z(z\in x\wedge a\in z)).$

Axioma del conjunto potencia Para cualquier conjunto $x$ existe otro conjunto, representado por $\mathcal{P}(x)$ , que contiene todos los subconjuntos de $x$ . En símbolos,

$\forall x\exists y\forall z (z\in y\ \leftrightarrow\forall a (a\in z\rightarrow a\in x))$

Esquema axiomático de especificación. Sea $φ(v)$ una fórmula de un lenguaje de primer orden que contenga una variable libre $v$ . Entonces, para cualquier conjunto $x$ existe un conjunto $y$ cuyos elementos son aquellos elementos $a$ de $x$ que cumplen $φ(a)$ . Formalmente,

$\forall x\exists y\forall a (a\in y\ \leftrightarrow\ a\in x\wedge\phi(x))$

Esquema axiomático de reemplazo. Si $φ(a, b)$ es una sentencia tal que para cualquier elemento $a$ de un conjunto $x$ el conjunto $y=\{b\mid\phi(a,b)\}$ existe, entonces existe una función

$f:x\rightarrow y$

tal que $f (a) = y$ . Formalmente, si

$\forall x\forall y\forall z\exists v (x\in v\wedge \phi(x,y)\wedge (\phi(x,z)\rightarrow y=z))$

entonces

$\exists w\forall y (y\in w\ \leftrightarrow\ \exists x(x\in v\wedge\phi(x,y)))$

Axioma de infinitud. Existe un conjunto $x$ tal que $\empty\in x$ y tal que si $y\in x$ , entonces $y\cup\{y\}\in x$ . En símbolos,

$\exists x (\empty\in x\wedge\forall (y\in x\rightarrow y\cup\{y\}\in x))$ .

Axioma de regularidad. Para todo conjunto no vacío $x$ existe un conjunto $y\in x$ tal que $x\cap y=\empty$ . Esto es, en términos formales,

$\forall x(x\neq\empty\ \rightarrow\ \exist y(y\in x\wedge\ \forall z(z\in y\rightarrow y\notin x)))$

Axioma de elección. El producto cartesiano de cualquier familia no vacía de conjuntos no vacíos es no vacío. Este axioma puede expresarse en términos formales al igual que los otros, aunque resulta más extenso.

Los axiomas anteriores, excepto el último, constituyen la teoría de Zermelo-Fraenkel, que se representa por ZF. Existen otros axiomas consistentes con los de ZF, como el axioma de constructibilidad y el axioma de elección. Una vez incorporado el axioma de elección a la teoría ZF, la teoría de conjuntos resultante se denota por ZFC.

[editar] Sobre los axiomas y algunas definiciones en ZF

[editar] El axioma de extensionalidad

El axioma de extensionalidad dice que dos conjuntos son iguales si y solo si tienen los mismos elementos. En otras palabras, afirma que un conjunto está determinado por su extensión (todos sus elementos). Una relación más general que la igualdad es la inclusión ( $\subseteq$ ), que se define como sigue:

$x\subseteq y\ \equiv\ \forall a(a\in x\rightarrow a\in y) .$

A diferencia del signo de la igualdad, el símbolo $\subseteq$ no figura dentro del lenguaje de primer orden con el que se construye la teoría ZF, pues la definición antes dada debería en ese caso ser introducida como un axioma que establezca el empleo de $\subseteq$ , cosa que no se ha hecho aquí. En su lugar, la simbología $x\subseteq y$ se emplea simplemente para representar la fórmula $\forall a(a\in x\rightarrow a\in y)$ del lenguaje de la teoría de conjuntos.

En vista del axioma de extensionalidad y de la definición anterior, resulta que puede probarse que dos conjuntos $x$ e $y$ son iguales si puede probarse que $x\subseteq y$ e $y\subseteq x$ .

[editar] El axioma del conjunto vacío

El axioma del conjunto vacío nos da un conjunto sin elementos. Este axioma se presentó usando el símbolo $\empty$ . Esto está justificado, pues el axioma de extensionalidad nos dice que este conjunto es único. En efecto, si $\empty$ y $\empty'$ fueran dos conjuntos vacíos, entonces siempre verificarían $a\notin\empty$ y $a\notin\empty'$ para cualquier $a$ , y por tanto también

$a\in\empty\ \leftrightarrow a\in\empty'$

para todo $a$ , de modo que, por el axioma de extensionalidad, $\empty=\empty'$ .

El axioma del conjunto vacío puede deducirse de otro axioma más débil, que afirma la existencia de un conjunto, digamos $x$ , y del esquema de especificación con la fórmula $a\neq a$ aplicada a este conjunto $x$ . Así, el conjunto vacío es el conjunto

$\{a\in x\mid a\neq a\},$

con el término $a\in x\mid a\neq a$ una descripción impropia.

[editar] El axioma de pares

Del axioma de pares se tiene, a partir de dos conjuntos $x$ e $y$ , el conjunto { $x,$ $y$ }. Este conjunto se llama par desordenado de $x$ e $y$ . Si se aplica el axioma de pares a un solo conjunto $x$ , se obtiene el par { $x, x$ } cuyo único elemento es, obviamente, $x$ , y por ello puede representarse como ${x}$ . A este último conjunto puede aplicársele de nuevo el axioma de pares, dando lugar al conjunto {{ $x$ }}, conjunto al cual puede aplicarse también el axioma de pares, obteniéndose el conjunto {{{ $x$ }}}, y así sucesivamente. Este proceso de construcción de conjuntos puede aplicarse al único conjunto dado y conocido explícitamente, $\empty$ , obteniéndose una serie infinita de conjuntos

$\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\},\ldots$

[editar] El axioma de unión

Si $A$ es una colección de conjuntos, entonces la unión $\bigcup A$ contiene aquellos y solo aquellos elementos que están en algun conjunto de $A$ . Si $A=\{x_1,x_2\ldots x_n\}$ , un conjunto con $n$ elementos, entonces es común escribir

$x_1\cup\ x_2\cup\cdots\cup x_n$

para representar la unión de los conjuntos de $A$ . Es fácil ver que

$a\in x\cup y\ \leftrightarrow\ a\in x\vee a\in y ,$

de modo que el axioma de unión y el axioma de pares garantizan la existencia del conjunto $x\cup y=\{a\mid a\in x\vee a\in y\}$ para cualesquiera conjuntos $x$ e $y$ , un hecho que no puede deducirse simplemente del esquema de especificación junto con los axiomas restantes. A diferencia de la unión, la intersección de conjuntos es deducible a partir del axioma de pares y el esquema de especificación. Efectivamente, pues se define el conjunto $x\cap y$ mediante

$a\in x\cap y\ \leftrightarrow\ a\in x\wedge a\in y,$

y por tanto $x\cap y$ existe. Más general, se define el conjunto

$\bigcap A=\{a\mid \forall y(y\in A\ \rightarrow\ a\in y\}.$

[editar] El axioma del conjunto potencia

El axioma del conjunto potencia nos da un conjunto que contiene a todos los subconjuntos de cualquier conjunto. Por tanto, $\mathcal{P}(\empty)=\{\empty\}$ . Puesto que $x\in \mathcal{P}(x)$ para cualquiera que sea el conjunto $x$ , puede hacerse uso del esquema de especificación para obtener el conjunto

$\{x\}=\{a\in\mathcal{P}(x)\mid a=x\},$

Si $y$ es otro conjunto, similarmente se obtiene al conjunto ${y}$ como un subconjunto de $\mathcal{P}(y)$ . Luego

$\{x\}\cup\{y\}=\{x,y\},$

de manera que el axioma de pares puede deducirse del axioma del conjunto potencia, el esquema de especificación y el axioma de unión. Así pues, no todos los axiomas de ZF son independientes.

[editar] El esquema axiomático de especificación

El esquema de especificación resulta ser una versión limitada o débil del axioma de Frege. Para este último, era posible tener un conjunto cuyos elementos satisfacían cierta propiedad. Con ello Frege garantizaba demasiado, y daba un lugar en su sistema a paradojas como la de Russell, entre otras. Por otra parte, el esquema de especificación va de acuerdo con una doctrina de reducción del tamaño. Permite obtener conjuntos a partir de otros, y cuyo tamaño es menor que el de aquellos de los que han sido obtenidos. Esto implica que, necesariamente, contemos con conjuntos previamente dados. Por tanto, nunca es posible pensar en la fórmula $x\in x$ , pues el conjunto $x$ no puede ser obtenido sin más que sí mismo. La paradoja de Russell surge precisamente de considerar que conjuntos muy grandes pueden ser obtenidos de forma gratuita sin más que especificar cuales son sus elementos. Otras paradojas que tienen que ver con el gran tamaño de los conjuntos, quedan excluidas de ZF mediante el esquema de especificación. Ahora bien, el calificativo de esquema se debe a que no es un único axioma, sino que este afirma (metamatemáticamente) que cualquier expresión de la forma

$\forall x\exists y\forall a (a\in y\ \leftrightarrow\ a\in x\wedge \phi(a))$

donde $φ(a)$ es una fórmula del lenguaje de la teoría de conjuntos es un axioma de ZF. Así, si consideramos la existencia de un conjunto $x$ como un axioma, el conjunto vacío sería también un axioma resultante de aplicar el esquema de especificación al conjunto $x$ con la fórmula $a\neq a$ .

El esquema de especificación no es independiente en ZF, pues se deduce del esquema de reemplazo, introducido por Fraenkel y Skolem el mismo año y de forma independiente.

[editar] Esquema axiomático de reemplazo

El esquema de reemplazo dice que si $v$ es un conjunto y $t h e t a$ es una fórmula con dos variables libres $x$ e $y$ , tales que para cada $x\in v$ existe un único $y$ tal que $θ(x, y)$ se cumple, entonces existe un conjunto $w$ tal que $y\in w$ si y solo si $θ(x, y)$ .

Para mostrar como el esquema de especificación se deduce del esquema de reemplazo, se considera a fórmula

$\theta(x,y)\equiv (\phi(x)\wedge x=y) ,$

donde $x$ cualquier elemento de un conjunto $v$ . Si $φ(x)$ , entonces ciertamente existe un único $y$ tal que $\phi(x)\wedge x=y$ (pues es $x$ mismo), por lo que la hipótesis del esquema de reemplazo se cumple, con lo que existe un conjunto $w$ tal que

$y\in B\ \leftrightarrow\ \exists x(x\in v\wedge\phi(x)\wedge x=y),$

lo que es lógicamente equivalente a que existe un conjunto $w$ tal que

$x\in w\ \leftrightarrow\ x\in v\wedge\phi(x).$

La formulación que se ha dado del axioma de reemplazo fue introducida por primera vez por Fraenkel [1929], y apareció también en los trabajos de Church [1942]. Una forma más débil de este esquema axiomático a parece en los trabajos de Tarski [1948]. La formulación original, dada por Fraenkel [1921/22 y 1927] y Skolem [1922/23 y 1929], es en esencia como sigue:

Para todo conjunto $s$ y cualquier función $f$ definida en $s$ , existe un conjunto $t$ tal que $f(x)\in t$ para todo $x\in s$ .

El esquema de reemplazo fue introducido por Fraenkel y Skolem con la finalidad de extender la fuerza del esquema de especificación, así como también posibilitar el conteo de números ordinales más allá de lo que permite el axioma de infinitud.

[editar] Axioma de infinitud

El axioma de infinitud, introducido (aunque no en la forma en que se ha presentado aquí) por Zermelo [1908], permite la obtención de los números naturales como conjuntos dentro de ZF. En términos generales, este axioma da un conjunto infinito según Dedekind, pues garantiza la existencia de un conjunto $X$ sobre el cual existe al menos una función $f:X\rightarrow X$ inyectiva y no sobreyectiva (que claramente no existe para un conjunto finito). Es decir, la función $f$ es tal que $\mathcal(D)f=X$ y $\mathcal(R)f\subset X$ , por lo que el rango de $f$ es un subconjunto propio de su dominio, $X$ . Pero, en ese caso, la aplicación

$g:X\rightarrow\mathcal{R}(f)$

dada por $g (x) = f (x)$ , es biyectiva. La conclusión es que existe una biyección entre $X$ y uno de sus subconjuntos propios. Ahora bien, el conjunto $X$ cuya existencia garantiza el axioma de infinitud, cumple las siguientes cosas:

( i ) $\empty\in X$ .

( ii ) $x\in X$ implica $x\cup\{x\}\in X$ .

Pero es possible que subconjuntos de $X$ cumplan esto mismo (un subconjunto así de X se denomina conjunto inductivo). Si $Y$ es el conjunto de todos los subconjuntos inductivos de $X$ , $Y$ es no vacío, pues $X\in Y$ . Así, puede formarse la intersección

$\bigcap Y=\{x\in X\mid\forall y(y\in Y\rightarrow x\in y)\}$

de todos los conjuntos inductivos. Este conjunto es claramente inductivo, y sus elementos son

$\empty, \{\empty\}, \{\empty, \{\empty\}\},\ldots$

mismos que pueden ser considerados los números naturales en ZF, y puede llamarse $\bigcap Y=\mathbb{N}$ . Se observa que, de este modo, un número natural es un conjunto que contiene a todos los números naturales anteriores a él. El conjunto de números naturales queda de esta forma bien ordenado por la inclusión. Cualquier número natural de la forma $n\cup\{n\}$ para algún $n\in\mathbb{N}$ se llama siguiente de $n$ , y se representa por $n +$ o por $s (n)$ . Mediante esta definición de $\mathbb{N}$ pueden probarse los axiomas de Peano, con lo que en ZF estos se convierten en teoremas (más exactamente, cuatro teoremas y un metateorema) sencillos:

$\empty\in\mathbb{N}$

$\forall n(n\in\mathbb{N}\rightarrow s(n)\in\mathbb{N})$

$\forall n(n\in\mathbb{N}\rightarrow\empty\neq s(n))$

$\forall m,n(s(m)=s(n)\rightarrow m=n)$

$\forall n(\empty\in S\wedge n\in S\ \rightarrow s(n)\in S)$ implica $S=\mathbb{N}$ .

La forma en que se ha presentado el axioma de infinitud se debe a Fraenkel, y permite la construcción de los números naturales como números ordinales en el sentido de von Neumann. En esta forma fue utilizado por R. M. Robinson en su The thory of classes [1937] (en donde presenta una modificación del sistema de von Neumann), así como también por Bernays [1942].

Zermelo introdujo el axioma de infinitud [1908] de forma esencialmente similar a la siguiente:

Existe un conjunto $X$ tal que

( i ) $\empty\in X$

( ii ) $x\in X\ \rightarrow\ \{x\}\in X$

Así, puede obtenerse el conjunto de números naturales cuyos elementos son

$\empty, \{\empty\}, \{\{\empty\}\},\ldots$

El orden que se establece entre estos elementos es el de la inclusión.

Este axioma de infinitud de Zermelo no tiene las ventajas que tiene el axioma de infinitud de Fraenkel.

[editar] Axioma de regularidad o de fundación

El axioma de regularidad dado aquí se debe a Zermelo [1930], si bien von Neumann presentó uno equivalente [1929], aunque más complicado. Este axioma prohíbe la existencia de conjuntos extraños, tales como conjuntos que cumplan

$x\in x$

$x\in y\wedge y\in x,$

así como también la existencia de cadenas descendientes infinitas:

$\ldots\in x_2\in x_1\in x_0.$

Existen sistemas de la teoría de conjuntos donde se excluye este axioma. La teoría que resulta de añadir un contrario del axioma de regularidad se conoce como Teoría de conjuntos no bien fundados.

[editar] Axioma de elección

A diferencia de los axiomas de ZF, el axioma de elección es un axioma no constructivo, en el sentido de que no determina un conjunto único a partir de su información. Además, como puede observarse, carece de la obviedad que (aunque la complejidad notacional de estos haga en algunos casos pensar lo contrario) caracteriza a todos los otros axiomas. Esto llevó a algunos matemáticos al intento de probar el axioma de elección a partir de los demás axiomas, cosa en lo que todos ellos fracasaron. Estos intentos vanos de probar el axioma de elección después de grandes esfuerzos, y ciertas peculiaridades del mismo, algunos matemáticos pensaban ya en la posible independencia del axioma de elección respecto de los axiomas de ZF, aunque no sabían en que dirección se encontraba la prueba de ello. Gödel probó [1930/1940] que el axioma de elección era consistente con los axiomas de ZF, por lo que podía emplearse junto con ellos sin temor de obtener contradicciones.

El axioma de elección fue presentado por Russell e 1906 de manera esencialmente similar a la siguiente:

Para todo conjunto $X$ no vacío de conjuntos disjuntos tal que $\empty\notin X$ , el producto cartesiano de $X$ es no vacío.

Russell llamó a este principio Axioma multiplicativo. El nombre de Axioma de elección (Auswahlaxiom) fue dado por Zermelo al principio más general que el de Russell:

Para todo conjunto no vacío $X$ tal que $\empty\notin X$ , existe una función $f$ cuyos argumentos $X$ son elementos de $X$ , tal que $f(x)\in x$ .

El nombre del axioma se debe al hecho de que la función $f$ elije un elemento de cada elemento (conjunto) $x$ de $X$ .

Zermelo introdujo el axioma de elección para probar el teorema de buena ordenación que afirma que todo conjunto puede ser bien ordenado. Mostró también que el lema de Kuratowski-Zorn se deduce del axioma de elección. En realidad, el axioma de elección es equivalente tanto al teorema de buena ordenación como al lema de Kuratowski-Zorn (la mayoría de las veces simplemente llamado Lema de Zorn). La siguiente lista enumera algunos principios equivalentes en ZF al axioma de elección:

Teorema de buena ordenación.
Lema de Kuratowski-Zorn.
Ley de tricotomía de cardinales.
Principio del maximal de Hausdorff.
Lema de Teichmüler-Tukey.

Sierpinski probó [1947] que la Hipótesis del continuo (un principio ad hoc que debe ser aceptado como axioma de la teoría de conjuntos) implica el axioma de elección, si bien lo recíproco no es cierto. Otro principio que implica el axioma de elección es el axioma de conjuntos inaccesibles de Tarski [1938/1939].

El sitema axiomático de ZFC admite las demostraciones por reducción al absurdo como método para demostrar teoremas. Dado un (presunto) conjunto nos basta con llegar a una contradicción con el resto de la teoría después de haber supuesto su existencia para demostrar que no existe tal conjunto. un ejemplo típico es la no existencia del conjunto de todos los conjuntos.

$\not \exist X , ( \forall u : ( u \in X ))$

De existir este conjunto V podríamos definir el conjunto $Y = \{x \in V | x \notin x \}$ , lo que irremisiblemente lleva a la Paradoja de Russell, por lo cual V no es un conjunto.

Procedimiento igual nos llevará a demostrar la no existencia de conjunto cojugado(conjunto de los elementos no pertenecientes al cojunto) dado un conjunto cualquiera, ya que de ser así existirá su union , por el teorema 2º y esta sería igual a V.

[editar] Otras propiedades de ZFC

Kurt Gödel probó que la consistencia lógica de los axiomas de ZFC es indemostrable. A lo sumo se pueden demostrar afirmaciones como si ZFC es consistente, entonces "T" también lo es, es decir la consistencia relativa. En cuanto a la completitud, el propio Gödell en sus teoremas de incompletitud demostró que si un sistema exiomático es lo suficientemente fuerte como para construir una aritmetica recursiva, dicho sistema no puede ser completo y consistente. Veasé teoremas de incompletitud

[editar] Véase también

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Categoría: Teoría de conjuntos