Complejo de cadenas

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En álgebra abstracta un conjunto $\{ A_i,\, \delta_i\}$ consistente en estructuras algebraicas $A i$ (ya sea grupos abelianos o anillos o módulos o espacios vectoriales) y $δ i$ morfismos (según sea la categoría), se llama complejo de cadenas (del inglés chain complex) si la construcción

$\ldots \to A_{n+1} \begin{matrix} \delta_{n+1} \\ \to \\ \, \end{matrix} A_n \begin{matrix} \delta_n \\ \to \\ \, \end{matrix} A_{n-1} \to \ldots$

satisface $\delta_{n+1}\circ\delta_n=0 \,$ . Esta última condición implica $im\delta_{n+1}\subseteq ker\delta_n \,$ para todas las $n$ .

[editar] Notación

El símbolo $A_{\bullet}$ se utiliza para designar al par $\{ A_i,\, \delta_i\}$ .

[editar] La homología

A la estructura cociente $H_n(A_{\bullet})=ker\delta_n/im\delta_{n+1}\,$ se le llama grupos de homología del complejo de cadenas ${A i,δ i}$ .

Esta última construcción es muy importante en la topología algebraica, pues conforma una de sus pricipales herramientas.

[editar] Morfismo entre cadenas

cadeno-morfismo $f_{\bullet}=\{f_i\}$

Un morfismo (de grado cero) entre dos complejos $A_{\bullet}=\{ A_q,\, \delta_q\}$ y $B_{\bullet}=\{ B_q,\, \gamma_q\}$ es un conjunto $f_{\bullet}=\{f_q\}$ de morfismos entre las estructuras algebraicas $A_q\stackrel{f_q}\to B_q$ tales que $f_q\circ \delta_{q+1}=\gamma_{q+1}\circ f_{q+1}$ . Simbólicamente $f_{\bullet}\colon A_{\bullet}\to B_{\bullet}$ indica lo mismo.

Un morfismo de grado d corresponde a una familia de morfismos $A_q\stackrel{g_q}\to B_{q-d}$ con la misma propiedad $g_q\circ \delta_{q+1}=\gamma_{q+1}\circ g_{q+1}$

[editar] Como categoría

Desde el punto de vista de teoría de categorías tenemos la categoría de complejos de cadenas y los cadeno-morfismos. Una utilización de ésta consideración es que las principales teorías de la topología algebraica tales como la homología, cohomología y la homotopía son verdaderos functores que asignan -por ejemplo la homología- a un par topológico $(X, A)$ una familia de grupos abelianos ${H n (X, A)}$ que formarán una complejo de cadenas $\cdots\to H_i(A)\to H_i(X)\to H_i(X,A)\to H_{i-1}(A)\to\cdots$ y donde un mapeo continuo $f\colon(X,B)\to(Y,B)$ entre pares topológicos induce un conjunto de morfismos $f_{\#}\colon H_i(A)\to H_i(B)$ , $f_{\#}\colon H_i(X)\to H_i(Y)$ y $f_{\#}\colon H_i(X,A)\to H_i(Y,B)$ con las propiedades suficientes para así considerarle como un cadeno-morfismo.

[editar] Ref

Jean Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, Birkhäuser, 1989. ISBN 0-8176-3388-X, ISBN 3-7643-3388-X

Véase también:

functores
cohomología.

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