CW-complejo

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En Topología y Geometría, un complejo celular o CW-Complejo es un tipo de espacio topológico que en cierta manera se asemeja a una variedad topológica. Son espacios muy utilizados en Topología (especialmente en Topología Algebraica) y en Geometría Diferencial.

Tabla de contenidos

1 Definición

[editar] Definición

[editar] Célula

En Topología se denomina célula a un espacio topológico $e$ que es homeomorfo a algún espacio euclídeo real. Es decir, existirá algún $n \in \mathbb{Z}^+$ (i, e., un entero no-negativo $n$ , considerando que $\mathbb{Z}^+:=\{m \in \mathbb{Z}: m \geq 0\}$ , es decir, consideramos que $0$ es un posible valor de $n$ ) de manera que $e \sim \mathbb{R}^n$ (donde $\sim$ representa la relación “ser homeomorfo a”). En ese caso se dirá que $e$ es una $n$ -célula, y que la dimensión de $e$ es $n$ (denotado por $| e | : = d i m (e) = n$ ). En principio esta dimensión no tiene nada que ver con la dimensión algebraica (la dimensión de espacios vectoriales).

[editar] Descomposición celular

Sea $X$ un espacio topológico. Se dice que el par $(X, \mathcal{E})$ es una descomposición celular de $X$ si $\mathcal{E}$ es una partición de $X$ en células, es decir, cada elemento de $\mathcal{E}$ es una célula, $X$ es la unión de todos los elementos de $\mathcal{E}$ y dos elementos distintos de $\mathcal{E}$ son disjuntos (si $e_1,e_2 \in \mathcal{E}$ y $e_1 \neq e_2$ , entonces $e_1 \cap e_2 = \varnothing$ ).

Todo espacio topológico admite alguna descomposición celular.

Dados un número entero positivo $n$ una descomposición celular $(X, \mathcal{E})$ de $X$ , se denomina conjunto de $n$ -células a la unión de todas las células de dimensión $n$ (es decir, a $\bigcup_{e \in \mathcal{E}:|e|=n}e$ ). Se denomina así mismo $n$ -esqueleto al conjunto $X^n := \bigcup_{e \in \mathcal{E}:|e|\leq n}e$ , es decir, a la unión de los conjuntos de $m$ -células, cuando $m \leq n$ .

Si existiese algún $n \in \mathbb{Z}^+$ de forma que $X = X n$ , diremos que $X$ tiene dimensión finita. En ese caso, al menor $n \in \mathbb{Z}^+$ de forma que $X = X n$ se le denomina dimensión de $X$ ( $n = d i m (X)$ ). En caso contrario (es decir, si $X$ no es de dimensión finita) se dice que la dimensión de $X$ es infinita ( $dim(X)= \infty$ ). Como antes, en principio esta definición de dimensión no tiene ninguna relación con la definición algebraica de dimensión para espacios vectoriales. Sin embargo, se cumple que si $X$ es un espacio euclídeo real o un espacio normado, ambas definiciones son equivalentes.

[editar] Complejos celulares

Sea $(X, \mathcal{E})$ una descomposición celular. Se dice que $(X, \mathcal{E})$ es un complejo celular (o un CW-complejo, o un CW-espacio, o un espacio CW, o que $(X, \mathcal{E})$ es una CW-descomposición de $X$ , o que $(X, \mathcal{E})$ es una descomposición de tipo CW de $X$ ) si se cumple las siguientes condiciones:

Axioma M, o condición de la aplicación característica: Para cada célula $e \in \mathcal{E}$ existe una aplicación continua (denominada aplicación característica para la célula $e$ ) $\Phi_e : \overline{B}^n \longrightarrow X$ de tal forma que $Φ e (B n) = e$ y $\Phi_e (S^{n-1}) \subseteq X^{n-1}$ (donde aquí $n = d i m (e)$ , $\overline{B}^n := \{x \in \mathbb{R}^n: ||x||\leq 1\}$ , es decir, $\overline{B}^n$ representa a la bola cerrada de $\mathbb{R}^n$ centrada en le origen y de radio 1, $B^n := \{x \in \mathbb{R}^n: ||x|| < 1\}$ , es decir, $B n$ representa a la bola abierta de $\mathbb{R}^n$ centrada en el origen y de radio 1 y $S^{n-1} := \{x \in \mathbb{R}^n: ||x||= 1\}$ es la esfera de $\mathbb{R}^n$ centrada en el origen y de radio 1). A la restricción de $Φ e$ a $S n - 1$ (esto es a $\phi_e := \Phi_e|_{S^{n-1}}$ ) se la denomina aplicación sujeción para la célula $e$ .
Axioma C, o condición de clausura finita: Dada una célula $e \in \mathcal{E}$ , su clausura $\overline{e}$ está contenida en la unión de un número finito de células. Esto es, $\overline{e}$ tiene intersección no vacía sólo con una cantidad finita de células.
Axioma W, o condición de topología débil: un conjunto $F \subset X$ es cerrado cuando y sólo cuando $F \cap \overline{e}$ lo es (cerrado) en $\overline{e}$ , cualquiera que sea la célula $e \in \mathcal{E}$ .