Ecuación de Clairaut
De Wikipedia, la enciclopedia libre
La ecuación de Clairaut, así llamada por su inventor, el físico francés Alexis-Claude Clairaut, es una ecuación diferencial de la forma:
Para resolver la ecuación, diferenciamos respecto a x, quedando:
por tanto
y así:
ó
En el caso formal, C = dy/dx para cualquier constante C. Sustituyéndolo en la ecuación de Clairaut, tenemos la familia de ecuaciones dadas por
llamadas soluciones generales de la ecuación de Clairaut.
El otro caso,
define sólo una solución y(x), llamada singular solution, cuyo gráfico es envelope de las gráficas de las soluciones generales. La singular solution se representa normalmente usando notación paramétrica, como: (x(p), y(p)), donde p representa dy/dx.
Ejemplo:
Resolver:
Hacemos
por tanto
obteniendo la ecuación de Clairaut, cuya solución es
de la cual podemos obtener y integrando dos veces, así
siendo D y E otras dos constantes cualquiera.
Solución:
