Equazione di Clairault
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L'equazione di Clairault è un'equazione differenziale lineare del primo ordine. Prende il nome dal matematico Alexis Clairault che per primo ne trovò il metodo risolutivo. È un caso particolare dell'equazione di d'Alembert.
Essa ha la forma
- y = xy' + f(y')
dove f è una funzione reale derivabile note
Indice |
[modifica] Metodo risolutivo
Differenziando l'equazione rispetto ad x otteniamo
- y' = y' + xy'' + y''f'(y')
ossia
![y'' \left [ x+ f'(y') \right ] = 0](../../../math/f/d/0/fd0fa2ef1296936ca293fa60d9a6b32f.png)
Per la regola di annullamento del prodotto, o è zero il primo fattore, o è zero il secondo, quindi le soluzioni sono
Sostituendo la prima nell'equazione,otteniamo la famiglia di rette
- y = Cx + f(C)
che è la soluzione generale dell'equazione. L'equazione x + f'(y') = 0 dà invece una soluzione particolare, che rappresenta l'inviluppo di tutte le soluzioni generali.
Un'altra soluzione particolare si ha se si pone
- y = f(C) + Cf'(C)
Esempio
Sia dato
La soluzione generale è
La soluzione particolare si ricava da
da cui si ottiene
ossia
[modifica] Equazione di Clairaut in due variabili
In due variabili, l'equazione di Clairaut assume la forma
- u = xux + yuy + f(ux,uy)
Scrivendo l'equazione in forma vettoriale, con le ovvie modifiche si risolve come il caso in una variabile.
[modifica] Equazione alle differenze di Clairaut
È un caso speciale dell'equazione di Lagrange, in cui
Il nome deriva dalla somiglianza con l'equazione differenziale di Clairaut.
