Método matricial de la rigidez
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El método matricial de la rigidez es un método de cálculo aplicable a estructuras hiperestáticas de barras que se comportan elástica y linealmente.
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[editar] Introducción
El método consiste en asignar a la estructura un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, relaciona los desplazamientos de los nudos de la estructura con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos. De tal manera que si se consideran las fuerzas nodales equivalentes sobre los nudos de la estructura, puede escribirse la siguiente ecuación:
Donde: 
son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; 
son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; 
los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y 
el número de grados de la estructura.
[editar] Fundamento teórico
En general, sólido deformable real, como cualquier medio continuo es un sistema físico con un número infinito de grados de libertad. Así sucede que en general para describir la deformación de un sólido necesitándose explicitar un campo vectorial de desplazamientos sobre cada uno de sus puntos. Este campo de desplazamientos en general no es reductible a un número finito de parámetros, y por tanto un sólido deformable de forma totalmente general no tiene un número finito de grados de libertad.
Sin embargo, para barras largas elásticas o prismas mecánicos de longitud grande comparada con el área de su sección transversal el campo de desplazamientos viene dado por la llamada curva elástica cuya deformación siempre es reductible a un conjunto finito de parámetros. En concreto fijados los desplazamientos y giros de las secciones extremas de una barra elástica queda completamente determinada su forma. Así para una estructura formada por barras largas elásticas fijados los desplazamientos de los nudos queda completamente determinada la forma deformada de dicha estructura. Esto hace que las estructuras de barras largas puedan ser tratadas muy aproximadamente mediante un número finito de grados de libertad y que puedan ser calculadas resolviendo un número finito de ecuaciones algebraicas. El método matricial proporciona esas ecuaciones en forma de sistema matricial que relaciona los desplazamientos de los extremos de la barras con variables dependientes de las fuerzas exteriores.
Esto contrasta con la situación general de los sólidos elásticos, donde el cálculo de sus tensiones internas y deformaciones involucra al resolución de complejos sistemas de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales.
[editar] Descripción del método
El método matricial requiere asignar a cada barra elástica de la estructura una matriz de rigidez, llamada matriz de rigidez elemental que dependerá de sus condiciones de enlace extremo (articulación, nudo rígido,...), la forma de la barra (recta, curvadada, ...) y las constantes elásticas del material de la barra (módulo de elasticidad longitudinal y módulo de elasticidad transversal). A partir del conjunto de matrices elementales mediante un algoritmo conocido como acoplamiento que tiene en cuenta la conectividad de unas barras con otras se obtiene una matriz de rigidez global, que relaciona los desplazamientos de los nudos con las fuerzas equivalentes sobre los mismos.
Igualmente a partir de las fuerzas aplicadas sobre cada barra se construye el llamado vector de fuerzas nodales equivalentes que dependen de las acciones exteriores sobre la estructura. Junto con estas fuerzas anteriores deben considerarse las posibles reacciones sobre la estructura en sus apoyos o enlaces exteriores (cuyos valores son incógnitas).
Finalmente se construye un sistema lineal de ecuaciones, para los desplazamientos y las incógnitas. El número de reacciones incógnita y desplazamientos incógnita depende del número de nodos: es igual a 3N para problemas bidimensionales, e igual a 6N para un problema tridimensional. Este sistema siempre puede ser dividido en dos subsistemas de ecuaciones desacoplados que cumplen:
- Subsistema 1. Que agrupa todas las ecuaciones lineales del sistema original que sólo contienen desplazamientos incógnita.
- Subsistema 2. Que agrupa al resto de ecuaciones, y que una vez resuelto el subsistema 1 y substituido sus valores en el subsistema 2 perimte encontrar los valores de las reacciones incógnita.
Una vez resuelto el subsistema 1 que da los desplazamientos, se substituye el valor de estos en el subsistema 2 que es trivial de resolver. Finalmente a partir de las reacciones, fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos se encuentran los esfuerzos en los nudos o uniones de las barras a partir de los cuales pueden conocerse los esfuerzos en cualquier punto de la estructura y por tanto sus tensiones máximas, que permiten dimensionar adecuadamente todas las secciones de la estructura.
[editar] Matrices de rigidez elementales
Para construir la matriz de rigidez de la estructura es necesario asignar previamente a cada barra individual (elemento) una matriz de rigidez elemental. Esta matriz depende exclusivamente de:
- Las condiciones de enlace en sus dos extremos (barra bi-empotrada, barra empotrada-articulada, barra biarticulada).
- Las características de la sección transversal de la barra: área, momentos de área (momentos de inercia de la sección). Y las características geométricas generales como la longitud de la barra, curvatura, etc.
- El número de grados de libertad por nodo, que depende de si se trata de problemas bidimensionales (planos) o tridimensionales.
La matriz elemental relaciona las fuerzas nodales equivalentes fuerzas aplicadas sobre la barra con los desplazamientos y giros sufridos por los extremos de la barra (lo cual a su vez determina la deformada de la barra).
[editar] Barra recta bidimensional de nudos rígidos
Un nudo donde se unen dos barras se llama rígido o empotrado su el ángulo formado por las dos barras no después de la deformación no cambia respecto al ángulo que formaban antes de la deformación. Aún estando imposibilitado para cambiar el ángulo entre barras las dos barras en conjunto pueden girar respecto al nodo, pero manteniendo el ángulo que forman en si extremo. En la realidad las uniones rígidas soldadas o atornilladas rígidamente se pueden tratar como nudos rígidos. Para barra unida rígidamente en sus dos extremos la matriz de rigidez elemental que representa adecuadamente su comportamiento viene dada por:
![\left [ K^{(e)} \right ] = \begin{bmatrix} \frac{EA}{L} & 0 & 0 & -\frac{EA}{L} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} & 0 & -\frac{12EI}{L^3} & \frac{6EI}{L^2} \\ 0 & \frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} & 0 & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} \\ -\frac{EA}{L} & 0 & 0 & \frac{EA}{L} & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} & 0 & \frac{12EI}{L^3} & -\frac{6EI}{L^2} \\ 0 & \frac{6EI}{L^2} & \frac{2EI}{L} & 0 & -\frac{6EI}{L^2} & \frac{4EI}{L} \end{bmatrix}](../../../math/e/8/1/e81e8c39f66d81b1852f19b1734d8489.png)
Donde:
son las magnitudes geométricas (longitud, área y momento de área).
la constante de elasticidad longitudinal (módulo de Young).
Alternativamente la matriz de rigidez de una barra biempotrada recta puede escribirse más abreviadamente, introduciendo la esbeltez mecánica característica:
![\left [ K^{(e)} \right ] = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} \lambda_k^2 & 0 & 0 & -\lambda_k^2 & 0 & 0 \\ 0 & 12 & 6L & 0 & -12 & 6L \\ 0 & 6L & 4L^2 & 0 & -6L & 2L^2 \\ -\lambda_k^2 & 0 & 0 & \lambda_k^2 & 0 & 0 \\ 0 & -12 & -6L & 0 & 12 & -6L \\ 0 & 6L & 2L^2 & 0 & -6L & 4L^2 \end{bmatrix}](../../../math/a/0/4/a0437a8b9c5734e6920811f894d7b001.png)
Donde: 
es la es esbeltez mecánica característica.
[editar] Barra recta bidimensional con un nudo articulado y otro rígido
En este caso cuando se imponen giros en el nudo articulado no se transmiten esfuerzos hacia el nudo no articulado. En ese caso la matriz de rigidez, usando la misma notación que en la sección anterior, viene dada por:
![\left [ K^{(e)} \right ] = \frac{EI}{L^3} \begin{bmatrix} \lambda_k^2 & 0 & 0 & -\lambda_k^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 3L & 0 & -3 & 0 \\ 0 & 3L & 3L^2 & 0 & -3L & 0 \\ -\lambda_k^2 & 0 & 0 & \lambda_k^2 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -3L & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}](../../../math/2/d/3/2d3a48405f55443b3a27cd9f8adc34f9.png)
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[editar] Barra recta bidimensional con dos nudos articulados
[editar] Arco circular bidimensional de nudos rígidos
[editar] Barra recta tridimensional de nudos rígidos
[editar] Fuerzas nodales
Para cada barra se define un vector de fuerzas nodales elemental, que sea estáticamente equivalente, a las fuerzas aplicadas sobre la barra.
[editar] Ejemplo
[editar] Cálculo de desplazamientos
[editar] Cálculo de reacciones
Una vez calculados los desplazamientos resolviendo un sistema de ecuaciones, el cálculo de las reacciones es mecánico.
