Movimiento armónico complejo

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Un movimiento armónico complejo es un movimiento superposición lineal de movimientos armónicos simples. Aunque un movimiento armónico simple es siempre periódico, un movimiento armónico complejo no necesariamente es periódico, aunque sí puede ser analizado mediante análisis armónico de Fourier. Un movimiento armónico complejo es periódico sólo si es la combinación de movimientos armónicos simples cuyas frecuencias son todas múltiplos racionales de una frecuencia base.

Tabla de contenidos

1 Cinemática de un movimiento armónico complejo
- 1.1 Periodicidad
2 Oscilaciones acopladas
- 2.1 Frecuencias y modos propios
- 2.2 Solución del problema

[editar] Cinemática de un movimiento armónico complejo

Un sistema que presenta oscilaciones armónicas con n grados de libertad en general tiene elongaciones X_i o movimientos a lo largo de direcciones independientes de la forma:

$\begin{Bmatrix} X_1(t) \\ \vdots \\ X_n(t) \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & \cdots & A_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{n1} & \cdots & A_{nn} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} C_1 \cos(\omega_1 t+ \phi_1) \\ \vdots \\ C_n\cos(\omega_n t+ \phi_n) \end{Bmatrix} = \sum_j \begin{Bmatrix} A_{1j} \\ \vdots \\ A_{nj} \end{Bmatrix} C_j \cos(\omega_j t+ \phi_j) \qquad (1)$

Donde, $\left \lbrace \omega_i \right \rbrace_{i=1,...,n}$ son las frecuencias propias del sistema, $\left \lbrace \phi_i \right \rbrace_{i=1,...,n}$ las fases iniciales. Cada uno de los vectores columna de la matriz A se llama modo propio de vibración, y los C_i son las amplitudes relativas de cada modio propio.

La velocidad y la aceleración se obtienen derivando respecto al tiempo y también resultan ser movimientos armónicos complejos, composición de movimientos de las misma frecuencias propias. Aunque ahora no tienen por qué existir puntos de velocidad cero, como sucede en el movimiento armónico simple.

[editar] Periodicidad

Un movimiento se dice periódico si después de cierto intervalo de tiempo constante, la posición vuelve a tomar el mismo valor, eso requiere que el vector de posiciones X(t) = X(t+T) para todo t y para algún valor de T. Para el caso de un movimiento armónico complejo como (1) eso requiere que, para todo i,

$\cos (\omega_i(t+T)) = \cos (\omega_i t) \Rightarrow \left \lbrace \exist k_1,...k_n\right \rbrace \subset \mathbb{Z}: T = \frac{2\pi k_i}{\omega_i} = ... = \frac{2\pi k_n}{\omega_n}$

Lo cual sólo puede suceder si para cualesquiera frecuencias su cociente es un número racional. Siendo como es que los números racionales son un conjunto de medida cero o conjunto nulo, la probabilidad de que el coeficiente de todas las frecuencias sea un número racional es cero y, por tanto, los movimientos armónicos complejos reales son cuasiperiódicos, pero no periódicos.

[editar] Oscilaciones acopladas

Un caso común de movimiento armónico complejo es el caso del problema de oscilaciones acopladas. Este problema de oscilaciones acopladas aparece, por ejemplo, en las vibraciones térmicas de un cristal, en el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto y en el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo:

$m_i\ddot{x} + \sum_{k=1}^N k_{ik}x_k = 0 \qquad (2)$

Que en forma matricial puede escribirse como:

$\begin{bmatrix} m_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & m_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & m_N\end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \ddot{x}_1 \\ \ddot{x}_2 \\ \vdots \\ \ddot{x}_N \end{Bmatrix} +\begin{bmatrix} k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1N} \\ k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{N1} & k_{N2} & \cdots & k_{NN} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_N \end{Bmatrix} = 0 \qquad (2')$

El problema puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecánico original.

[editar] Frecuencias y modos propios

Los modos propios proporcionan una solución del problema (2') de la forma (1). Para ello es necesario determinar una serie de frecuencias naturales del sistema que pueden calcularse como:

$\begin{vmatrix}k_{11}-\omega_j^2m_1 & k_{12} & \cdots & k_{1N} \\ k_{21} & k_{22}-\omega_j^2m_2 & \cdots & k_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{N1} & k_{N2} & \cdots & k_{NN}-\omega_j^2m_N \end{vmatrix} = 0$

Esto proporciona N soluciones para el cuadrado de la frecuencia natural. Para cada una de estas soluciones se busca un vector unitario, llamado modo propio, que satisfaga la ecuación compatible indeterminada:

$\begin{bmatrix} k_{11}-\omega_j^2m_1 & k_{12} & \cdots & k_{1N} \\ k_{21} & k_{22}-\omega_j^2m_2 & \cdots & k_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ k_{N1} & k_{N2} & \cdots & k_{NN}-\omega_j^2m_N \end{bmatrix} \begin{Bmatrix}a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{Nj} \end{Bmatrix} = 0$

Puede comprobarse que estos vectores representando los diversos modos propios del sistema son ortogonales entre sí, por lo que la matriz formada por todos ellos es una matriz ortogonal:

$\mathbf{A} = [a_{ij}]_{i=1...N}^{j=1...N} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}$

Las coordenadas normales, asociadas a los modos propios, se obtienen mediante un cambio lineal a partir de las coordenadas convencionales:

$\begin{Bmatrix} q_1(t) \\ \vdots \\ q_N(t) \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} b_{11} & \cdots & b_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{n1} & \cdots & b_{nn} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\ x_N(t) \end{Bmatrix}$

Donde $\mathbf{B} = [b_{ij}] = \mathbf{A}^T$ , cumpliéndose que B' es la matriz inversa de A (A·B = B·A = I).

[editar] Solución del problema

La solución general se puede obtener fácilmente resolviendo el problema en coordenadas normales. Usando estas coordenadas se obtiene fácilmente si se tiene en cuenta que $\mathbf{x} = \mathbf{A}\mathbf{q}$ :

$\mathbf{M}\ddot{\mathbf{x}}+\mathbf{K}\mathbf{x}=0 \qquad \Rightarrow \qquad \ddot{\mathbf{q}}+\left[\mathbf{A}^T\mathbf{M}^{-1}\mathbf{K}\mathbf{A}\right]\mathbf{q}=0$

Pero debido a las propiedades de la matriz $\mathbf{A}$ la matriz entre corchetes resulta ser una matriz diagonal y por tanto la solución de ese último sistema se obtiene resolviendo N ecuaciones para cada una de las un conjunto de ecuaciones del tipo:

$\ddot{q}_j + \omega_j^2 q_j = 0 \qquad \Rightarrow \qquad q_j = C_j cos(\omega_j t + \phi_j)$

En términos de las coordenadas normales y la matriz de modos propios, la solución general del sistema se escribe:

$\begin{Bmatrix} x_1(t) \\ \vdots \\ x_N(t) \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} q_1(t) \\ \vdots \\ q_N(t) \end{Bmatrix}= \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} C_1 \cos(\omega_1 t+ \phi_1) \\ \vdots \\ C_n\cos(\omega_n t+ \phi_n) \end{Bmatrix}$