Pendiente de una recta

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Pendiente de una carretera.

Para otros usos de la palabra pendiente véase Pendiente

En matemáticas y ciencias aplicadas se denomina pendiente a la inclinación de un elemento ideal, natural o constructivo respecto de la horizontal.

Puede referirse a la pendiente de una recta, caso particular de la tangente a una curva cualquiera, en cuyo caso representa la derivada de la función en el punto considerado, y es un parámetro relevante en el trazado altimétrico de carreteras, vías férreas, canales y otros elementos constructivos.

[editar] Definición de la Pendiente

La pendiente de una recta en un sistema de representación rectangular (cartesiano), suele ser representado por la letra M, y es definido como el cambio o diferencia en el eje Y dividido por el respectivo cambio en el eje X, entre 2 puntos de la recta. En la siguiente ecuación se describe:

$m = \frac{\Delta y}{\Delta x}$

(El símbolo delta "Δ", es comúnmente usado en calculo para representar un cambio o diferencia.)

Dados 2 puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), la diferencia en x es x₂ - x₁, mientras que el cambio en Y se calcula y₂ - y₁. Sustituyendo ambas cantidades en la ecuación descrita anteriormente obtenemos:

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

[editar] Geometría

Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación. Una línea horizontal tiene pendiente = 0, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 (si la recta "sube hacia la derecha"). Una recta con 45° de inclinación que "suba hacia la izquierda", tiene pendiente = -1. Una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente es infinita.

El angulo θ que una recta tiene con el eje positivo de X, está relacionado con la pendiente M, en la siguiente ecuación:

$m = \tan\,\theta$

$\theta = \arctan\,m$

(ver Trigonometría).

2 o más rectas son paralelas si ambas poseen la misma pendiente, o si ambas son verticales y por ende no tienen pendiente definida; 2 o más rectas son perpendiculares (forman un angulo recto entre ellas), si el producto de sus pendientes es igual a -1, o una posee pendiente 0 y la otra no esta definida (infinita).

[editar] Ecuaciones de la recta

Si y es una función lineal de x, entonces el coeficiente de x es la pendiente de la recta. Por lo tanto, si la ecuación esta dada de la siguiente manera:

$y = mx + b \,$

entonces m es la pendiente. En esta ecuación, el valor de B puede ser interpretado como el punto donde la recta intersecta al eje Y, cuando x vale 0 (se encuentra en el origen).

Si la pendiente m de una recta y el punto x₀, y₀) de la recta son conocidos, entonces la ecuación de la recta puede ser encontrada usando:

$y - y_0 = m(x - x_0) \,$

Por ejemplo, considere una recta que pasa por los puntos (2, 8) y (3, 20). Esta recta tiene pendiente m = (20 - 8) / (3 - 2) = 12. Luego de esto, uno puede definir la ecuación para esta recta usando la fórmula antes mencionada: y - 8 = 12(x - 2) = 12x - 24; o:y = 12x - 16.

La pendiente de la recta en la fórmula:

$Ax + By + C = 0 \,$