Derivada

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En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos conceptos centrales del cálculo. El otro concepto es la antiderivada o integral; ambos conceptos están relacionados por el teorema fundamental del cálculo.

La derivada de una función en un punto mide el coeficiente por cual el valor de la función cambia cuando la entrada de la función cambia. Es decir, que una derivada provee una formulación matemática de la noción del coeficiente de cambio.

La derivada es un concepto de muchos usos que se puede ver en muchos aspectos. Por ejemplo, cuando se refiere a la gráfica de dos dimensiones de f, se considera la derivada como la pendiente de la tangente del gráfico en el punto x. Se puede aproximar la pendiente de esta tangente como el límite de una secante. Con esta interpretación, pueden determinarse muchas propiedades geométricas de los gráficos de funciones, tales como concavidad o convexidad.

Algunas funciones no tienen derivada, en todos o en alguno de sus puntos. Por ejemplo, una función no tiene derivada en los puntos en que se tiene una tangente vertical, una discontinuidad o un punto anguloso.

Las funciones que son diferenciables (derivables si hablamos en una sola variable), la función es aproximable linealmente

Tabla de contenidos

1 Condiciones de continuidad de una función
- 1.1 Condición no recíproca
2 Diferenciación
3 Notación
4 Diferenciabilidad
5 Cociente de diferencias de Newton
6 Notaciones para diferenciación
7 Algunas Derivadas Notables
8 Ejemplo
9 Propiedades
10 Véase también
11 Enlaces externos

[editar] Condiciones de continuidad de una función

Una función continua es aquella cuya regla de correspondencia asigna incrementos pequeños en la variable dependiente a pequeños incrementos de los elementos del dominio de dicha función, es decir, $\lim_{\Delta x \to 0}\Delta y=0$ , y usando la expresión $Δ y + y = f (Δ x + x)$ , queda $\lim_{\Delta x \to 0}f(\Delta x +x)-y=0$ donde en este caso, $f (x) = y$ . Ello quiere decir que $\lim_{x \to a}f_{(x)}=f_{(a)}$ , y si este último límite existe significa en consecuencia por un Teorema de Límites (un límite existe sí y sólo si los dos límites laterales existen y son iguales) que toda función $f (x)$ que cumpla con

$\lim_{x \to a+}f_{(x)}= \lim_{x \to a-}f_{(x)}= \lim_{x \to a}f_{(x)}=f_{(a)}$ es continua en el punto a.

[editar] Condición no recíproca

La relación no funciona a la inversa: el que una función sea continua no garantiza su derivabilidad. Es posible que los límites laterales sean equivalentes pero las derivadas laterales no, en este caso la función presenta un punto anguloso en dicho punto.

Un ejemplo puede ser la función módulo en el punto (0, 0). Dicha función es equivalente a la función partida $\left\{\begin{matrix} x, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -x, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.$

Para valores infinitamente cercanos a 0, por ambas ramas, el resultado tiende a 0. Y el resultado en el punto 0 es también 0, por lo tanto es continua. Sin embargo, las derivadas resultan $\left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{si }x\ge 0 \\ -1, & \mbox{si }x<0 \end{matrix}\right.$

Cuando x vale 0, las derivadas laterales dan resultados diferentes. Por lo tanto, no existe derivada en el punto, a pesar de que sea continuo.

[editar] Diferenciación

En terminología algo anticuada, diferenciación manifiesta el coeficiente en que una cantidad y cambia a consecuencia de un cambio en otra cantidad x con la que tiene una relación funcional. Usando el símbolo $Δ$ para referirse al cambio en una cantidad, se define este coeficiente como un límite del cociente

$\Delta y \over \Delta x$

cuando $Δ x$ se aproxima a 0. En la notación de Leibniz, se escribe la derivada de y con respecto a x

$dy \over dx$

Esto sugiere la razón de dos cantidades infinitesimales.

En el lenguaje matemático contemporáneo, se refiere a cantidades dependientes y declara simplemente que la diferenciación es una operación matemática de funciones. La definición precisa (esta también refiere a cantidades infinitesimales) parte de un cociente de diferencias:

$g(x)=\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

Luego a la variable h del cociente anterior se la hace tender a 0, por medio de un límite. Finalmente, queda constituida de la siguiente manera la derivada:

$f'(x)=\lim_{h\rightarrow0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$

[editar] Notación

Existen diversas formas para nombrar a las derivadas. Si f es una función, se escribe la derivada de la función f al valor x en varios modos:

$f'(x) \,$ {Notación de Lagrange}

se lee "f primo"

$D_x f \,$ o $\partial_x f$ {Notación de Cauchy}

se lee "d sub x de f", y

$\dot{x}$ { Notación de Newton}

se lee "punto x" o "x punto".

[editar] Diferenciabilidad

Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo. Si una función no es continua en un punto x, no tiene línea tangente y, por tanto, la función no es diferenciable en ese punto; sin embargo, aunque una función sea continua en x, puede no ser diferenciable allí. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no viceversa.

La derivada de una función diferenciable puede ser, asimismo, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama la segunda derivada. De un modo parecido, la derivada de una segunda derivada es la tercera derivada, y así sucesivamente.

Esto también recibe el nombre de Derivación Sucesiva o de Orden Superior

[editar] Cociente de diferencias de Newton

La derivada de una función f es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de f en x. Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente conocemos un punto en la línea tangente: el ( x, f(x) ). La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Definimos, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente.

Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño h. h representa un cambio relativamente pequeño en x, y puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los puntos ( x, f(x) ) y ( x + h, f(x + h) ) es

$f(x + h) - f(x) \over h$ .

Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} {f(x + h) - f(x) \over h}$ .

Si la derivada de f existe en todos los puntos x, se puede definir la derivada de f como la función cuyo valor en cada punto x es la derivada de f en x.

Puesto que sustituir h por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se puede cancelar la h del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

[editar] Notaciones para diferenciación

La notación más simple para diferenciación, en uso actual, es debida a Lagrange. Para identificar las derivadas de f(x) en el punto a, se escribe:

f'(a) para la primera derivada,

f''(a) para la segunda derivada,

f'''(a) para la tercera derivada,

f⁽ⁿ⁾(a) para la enésima derivada (n > 3).

Para la función derivada de f(x), se escribe f'(x). De modo parecido, para la segunda derivada de f se escribe f''(x), y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de f(x), se escribe:

$\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}.$

Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:

$\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\left.{\!\!\frac{}{}}\right|_{x=a} = \left(\frac{d\left(f(x)\right)}{dx}\right)(a).$

Si y = f(x), se puede escribir la derivada como

$dy \over dx$

Las derivadas sucesivas se expresan como

$\frac{d^n\left(f(x)\right)}{dx^n}$ o $\frac{d^ny}{dx^n}$

para la enésima derivada de f(x) o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

$\frac{d \left(\frac{d \left( \frac{d \left(f(x)\right)} {dx}\right)} {dx}\right)} {dx}$

la cual se puede escribir como

$\left(\frac{d}{dx}\right)^3 \left(f(x)\right) = \frac{d^3}{\left(dx\right)^3} \left(f(x)\right).$

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}.$

(En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan.)

La notación de Newton para la diferenciación era poner un punto arriba del nombre de la función:

$\dot{x} = \frac{dx}{dt} = x'(t)$

$\ddot{x} = x''(t)$

y así sucesivamente.

Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solamente se usa para las primeras y segundas derivadas.

Sea f una función continua, y C su curva. Sea x = a la abscisa de un punto regular, es decir donde C no hace un ángulo. En el punto A(a, f(a)) de C se puede trazar la tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es f´(a), el número derivado de f en a.

La función a → f´(a) es la derivada de f.

En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir f '(a), puede uno saber a que ritmo crece o decrece la función. El signo de f´(a) determina en función f (si crece o no).

En este gráfico se ve que donde f es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto f´ es positiva, como en el punto D (x = d), mientras que donde f es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y f´ es negativa, como en el punto B (x = b). En los puntos A y C, que son máximo y mínimo local, la tangente es horizontal, luego f´(a) = 0 = f´(c).

Lo bueno de la función derivada es que se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, tenemos la fórmula:

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac {f(x+h) - f(x)} {h}$

Por ejemplo, sea

$f\left(x\right) = x^2$

entonces:

$\begin{matrix} f'(x) &=& \lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} &=& \lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2 -x^2}{h} &=& \lim_{h \to 0}\frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h} = \\ \ &=& \lim_{h \to 0}\frac{2xh + h^2}{h} &=& \lim_{h \to 0}(2x + h) &=& 2x \end{matrix}$

[editar] Algunas Derivadas Notables

Función F: primitiva de f	función f: derivada de F
$f\left(x\right) = k$	$f'\left(x\right) = 0$
$f\left(x\right) = x$	$f'\left(x\right) = 1$
$f\left(x\right) = kx$	$f'\left(x\right) = k$
$f\left(x\right) = ax + b$	$f'\left(x\right) = a$
$f\left(x\right) = x^n$	$f'\left(x\right) = nx^{n-1}$
$f\left(x\right) = \sqrt{x}$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$f\left(x\right) = e^x$	$f'\left(x\right) = e^x$
$f\left(x\right) = \ln(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = a^x (a > 0)$	$f'\left(x\right) = a^x \ln(a)$
$f\left(x\right) = \log_{b}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{ln{b}}\frac{1}{x}$
$f\left(x\right) = \frac{1}{x^n} = (x^n)^{-1} = x^{-n}$	$f'\left(x\right) = -nx^{-n-1}$
$f\left(x\right) = \operatorname{sen}(x)$	$f'\left(x\right) = \cos(x)$
$f\left(x\right) = \cos(x)$	$f'\left(x\right) = -\operatorname{sen}(x)$
$f\left(x\right) = \tan(x)$	$f'\left(x\right) = \sec^2(x)$
$f\left(x\right) = \csc(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc(x)\cot(x)$
$f\left(x\right) = \sec(x)$	$f'\left(x\right) = \sec(x)\tan{x}$
$f\left(x\right) = \cot(x)$	$f'\left(x\right) = -\csc^2(x)$
$f\left(x\right) = \operatorname{arcsen}(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arccos(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$f\left(x\right) = \arctan(x)$	$f'\left(x\right) = \frac{1}{1+x^2}$
$f\left(x\right) = f \pm g$	$f'\left(x\right) = f' \pm g'$
$f\left(x\right) = fg$	$f'\left(x\right) = f'g + fg'$
$f\left(x\right) = fgh$	$f'\left(x\right) = f'gh + fg'h + fgh'$
$f\left(x\right) = \frac{f}{g}$	$f'\left(x\right) = \frac{f'g - fg'}{g^2}$
$f\left(x\right) = kf$	$f'\left(x\right) = kf'$
$f\left(x\right) = f\circ g$	$f'\left(x\right) = (f'\circ g)g'$

[editar] Ejemplo

Sea f la función f(x) = 2x³ - 9x² - 24x + 51, definida sobre R. Para conocer sus variaciones miremos su derivada. f´(x) = 6x² - 18x - 24. Para encontrar el signo de f´ (x), tenemos que factorizarla: f´(x) = 6(x² - 3x - 4) = 6(x + 1)(x - 4) ( lo que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado).

En la tabla siguiente se establece los signos de los factores (descartando el factor 6, siempre positivo), luego el signo de la derivada, y para terminar las variaciones de la función f.

[editar] Propiedades

Dadas dos funciones $f (x)$ y $g (x)$ , ambas derivables, y el valor constante K, se verifica que:

$\left ( f \pm g \right)'(x) = f' (x) \pm g' (x)$
$\left ( K.f \right )'(x) = K.f' (x)$
$\left ( f . g \right )'(x) = f' (x). g (x) + f (x). g' (x)$
$\left ( \frac{f}{g} \right )'(x) = \frac{f' (x). g (x) - f (x). g' (x)}{ \left [ g (x) \right ]^2}$
$\left ( f\circ g \right )' (x) = f' \left ( g (x) \right ) . g' (x)$