Polinomio mínimo
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En matemática, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio mínimo dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.
[editar] Teoría de cuerpos
En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumple f(α) = 0 es un múltiplo de p.
[editar] Álgebra lineal
En álgebra lineal, el polinomio mínimo de una matriz n-x-n A sobre un cuerpo F es el polinomio mónico p(x) sobre F de menor grado tal que p(A)=0. Cualquier otro polinomio q con q(A) = 0 es un múltiplo de p.
Los siguientes tres enunciados son equivalentes:
- λ∈F es una raíz de p(x),
- λ es una raíz del polinomio característico de A,
- λ es un valor propio de A.
La multiplicidad de la raíz λ de p(x) es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a λ.
El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz 4In, que tiene como polinomio característico (x − 4)n. Sin embargo, el polinomio mínimo es x − 4, ya que 4I − 4I = 0, por lo que son distintos para 
. El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.
