Polinomio separable

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En matemática, un polinomio P(X) es separable sobre un cuerpo K si sus raíces en una clausura algebraica de K son distintas - es decir P(X) tiene factores lineales distintos en una extensión de cuerpo suficientemente grande. Equivalentemente, P es separable si y solo si es coprimo con su derivada P′.

Los polinomios irreducibles sobre un cuerpo perfecto son separables, lo que incluye en particular todos los cuerpos de característica 0, y todos los cuerpos finitos. Este criterio es de vital importancia en la teoría de Galois. En este contexto, el concepto de separabilidad es de menor importancia si P no se supone irreducible, ya que las raíces repetidas pueden simplemente reflejar que P no es libre de cuadrados.

El criterio que nos lleva a sacar conclusiones rápidas sobre si P es irreducible y no separable es que P′(X) = 0. Esto solo es posible en cuerpos de característica p: necesitamos tener P(X) = Q(X^p) donde el número primo p es la característica.

A continuación veremos un ejemplo:

P(X) = X^p − T

con K un cuerpo de funciones racionales en la indeterminada T sobre un cuerpo finito con p elementos. Aquí uno puede probar directamente que P(X) es irreducible y no separable. De hecho, este es el típico ejemplo donde se puede ver la importancia de la inseparabilidad; en términos geométricos P representa la aplicación en la recta proyectiva sobre un cuerpo finito, tomando coordenadas como sus potencias pesimas. Dichas aplicaciones son fundamentales en la geometría algebraica de cuerpos finitos.

Si L es la extensión de cuerpo K(T^1/p) (el cuerpo de descomposición de P) entonces L/K es un ejemplo de extensión de cuerpo inseparable pura. Es de grado p, pero no tiene automorfismos que dejan fija K, a parte de la identidad, ya que T^1/p es la única raíz de P. Esto muestra que la teoría de Galois no es aplicable en este entorno.

Se puede ver que el producto tensorial de cuerpos de L consigo mismo sobre K para este ejemplo tiene elementos nilpotentes no nulos. Ésta es otra manifestación de la inseparabilidad: la operación de producto tensorial en cuerpos necesita no producir un anillo que sea producto de cuerpos.

Si P(x) es separable, y sus raíces forman un grupo (un subgrupo del cuerpo K), entonces P(x) es un polinomio aditivo.