Precesión

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Movimiento de precesión de un trompo o peonza.

La precesión es el cambio de la dirección del eje alrededor del cual gira un objeto. El ejemplo tipo, el movimiento que realiza una peonza, o trompo, al girar, cuando su eje de rotación no es vertical.

Hay dos tipos de precesión: la precesión debido a torques (momentos de fuerzas) externos, y la precesión sin torques (momentos de fuerzas) externos.

Tabla de contenidos

1 Precesión sin torques (momentos de fuerzas) externos
- 1.1 Precesión un sólido de revolución
2 Precesión debida a torques externos
- 2.1 Trompo o peonza
3 Referencias
4 Véase también

[editar] Precesión sin torques (momentos de fuerzas) externos

Este movimiento ocurre cuando un cuerpo está en movimiento alrededor de un eje que no es ni el eje de máximo momento de inercia ni el eje de menor momento de inercia. La precesión puede estar acompañada de otros movimientos própios de los cuerpos en rotación como la nutación, polhode o herpolhode [1].

[editar] Precesión un sólido de revolución

Se llama peonza simétrica en movimiento libre a un sólido rígido de revolución, con dos de sus momentos de inercia principales iguales $I_1 = I_2 \ne I_3$ . Como en una peonza simétrica se pueden escoger arbitrariamente los ejes 1 y 2, conviene aprovechar ese hecho para simplificar las expresiones tomando el eje 1 paralelo a la línea nodal de los ángulos de Euler lo cual equivale a que ψ = 0.

Lo cual lleva a que las volocidades angulares en el sistema de referencia no inercial vengan dadas por:

$\boldsymbol{\omega} = \begin{Bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} \dot\theta \\ \dot\phi \sin\theta \\ \dot\phi \cos\theta + \dot\psi \end{Bmatrix}$

La energía cinética de rotación una peonza simétrica puede expresarse en términos de los ángulos de Euler sencillamente:

$E_c = \frac{1}{2}\left(I_1 \omega_1^2 + I_1 \omega_2^2 + I_3 \omega_3^2\right)= \frac{I_1}{2}\left(\dot\phi^2 \sin^2\theta + \dot\theta^2\right) + \frac{I_3}{2}\left(\dot\phi \cos\theta + \dot\psi\right)^2$

Por otro lado si se toma el eje Z del sistema de referencia alineado con el momento angular del sólido rígido se tiene que las componentes del momento angular y la relación con la velocidad angular son:

$\mathbf{M}=\begin{Bmatrix} 0 \\ M\sin \theta \\ M\cos \theta \end{Bmatrix} = \begin{bmatrix} I_1 & 0 & 0 \\ 0 & I_1 & 0 \\ 0 & 0 & I_3 \end{bmatrix} \begin{Bmatrix} \omega_1 \\ \omega_2 \\ \omega_3 \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix} I_1\dot\theta \\ I_1\dot\phi \sin\theta \\ I_3\dot\phi \cos\theta + \dot\psi \end{Bmatrix}$

Escribiendo componente a componente estas ecuaciones se tiene que:

$\dot\theta = 0 \qquad I_1\dot\phi = M \qquad I_3\omega_3 = I_3(\dot\phi \cos\theta + \dot\psi) = M \cos \theta$

La primera ecuación nos dice que en el movimiento libre de una peonza simétrica esta no cabecea, es decir, no hay movimiento de nutación ya que el ángulo formado por eje de rotación y el momento angular se mantiene constante en el movimiento. La segunda describe el movimiento de precesión de acuerdo con el cual el eje de rotación (que coincide con la dirección de la velocidad angular) gira alrededor de la dirección del momento angular (eje Z). La tercera ecuación da la velocidad de rotación del sólido alrededor de su tercer eje de inercia.

[editar] Precesión debida a torques externos

Recordemos que el momento angular es un vector que tiene como módulo, el producto del momento de inercia del cuerpo alrededor del eje de rotación, multiplicado por la velocidad angular. La dirección del vector es la misma que la del vector asociado a la velocidad angular y está dada por la regla del sacacorchos.

La ecuación de base del momento angular de un cuerpo es:

${d\vec L\over dt}= \vec \tau$

donde $\scriptstyle{\vec L}$ es el momento angular del cuerpo y $\scriptstyle{\vec \tau}$ es le torque aplicado al cuerpo. Esta ecuación corresponde, en el movimiento lineal, a la ecuación $\scriptstyle{\vec F={d\vec p\over dt}}$ donde $\scriptstyle{\vec F}$ es la fuerza aplicada a un cuerpo y $\scriptstyle{\vec p=m\vec v}$ es el momento lineal del cuerpo.

Cuando el torque es paralelo al momento angular, o sea, paralelo al eje de rotación, el único efecto del torque es de acelerar o frenar la velocidad de rotación del objeto. En cambio, una componente del torque, perpendicular al eje de rotación, no cambia el módulo de la velocidad angular sino su dirección, es decir la dirección del eje de rotación del cuerpo.

Todos los vectores del dibujo están en un plano horizontal. Como el torque aplicado al cuerpo es perpendicular al momento angular , este último cambia únicamente de dirección. Ese cambio es la precesión.

Todos los vectores del dibujo están en un plano horizontal. Como el torque $\scriptstyle{\vec\tau}$ aplicado al cuerpo es perpendicular al momento angular $\scriptstyle{\vec L}$ , este último cambia únicamente de dirección. Ese cambio es la precesión.

Consideremos el cuerpo en rotación de la imagen de derecha. Cuando se le aplica un torque como el indicado por las fuerzas dibujadas, la dirección de la variación del momento angular es la indicada en el dibujo. Esta variación es perpendicular al momento angular y paralela al torque. La variación de $\scriptstyle{\vec L}$ durante un intervalo de tiempo $\scriptstyle{\Delta t}$ es:

$\Delta \vec L = \vec\tau \Delta t$

Nótese que $\scriptstyle{\Delta \vec L}$ tiene la misma dirección que $\scriptstyle{\vec \tau}$ . Si el intervalo de tiempo es pequeño, el ángulo $\scriptstyle{\Delta \phi}$ que el nuevo momento angular $\scriptstyle{\vec L+ \Delta \vec L}$ hace con el precedente $\scriptstyle{\vec L}$ es:

$\Delta \phi={\tau \Delta t \over L}$

La velocidad de precesión del giroscopio es la velocidad angular del vector $\scriptstyle{\vec L}$ que es la misma que la del eje de rotación de este último:

Velocidad de precesión $=\Omega={\Delta \phi \over \Delta t}= {\tau\over L}$

La velocidad de precesión es una velocidad angular y se mide en radianes/segundo.

La velocidad de precesión es tanto más pequeña cuanto el momento angular del cuerpo es grande.

[editar] Trompo o peonza

La velocidad de precesión no depende de la inclinación del trompo.

En el dibujo de derecha hemos representado un trompo o peonza que gira hacia la izquierda y cuyo eje de rotación está inclinado hacia la izquierda formando un ángulo $\scriptstyle{\theta}$ con la vertical. El peso del objeto ejerce una fuerza vertical $\scriptstyle{m\vec g}$ aplicada en el centro de masas (indicado como c.m. en el dibujo). $\scriptstyle{m}$ es la masa del trompo y $\scriptstyle{\vec g}$ es la aceleración de la gravedad. Esta fuerza debida al peso crea un torque $\scriptstyle{\vec \tau = \vec r \times m\vec g}$ dirigido horizontalmente y perpendicular al momento angular $\scriptstyle{\vec L}$ del trompo.

Como hemos visto, este torque produce, en un intervalo tiempo $\scriptstyle{\Delta t}$ una variación $\scriptstyle{\Delta L=\tau\Delta t }$ del momento angular. Esta variación es perpendicular al vector momento angular $\scriptstyle{\vec L}$ y paralela al torque. Al cabo de ese tiempo $\scriptstyle{\vec L}$ , el nuevo vector $\scriptstyle{\vec L}$ tendrá el mismo módulo que antes pero habrá girado en la dirección de $\scriptstyle{\vec \tau}$ . A medida que el momento angular del trompo gira, su centro de masas también gira y la dirección de $\scriptstyle{\vec \tau}$ también. Como el eje de rotación del trompo está inclinado de $\scriptstyle{\theta}$ , una variación $\scriptstyle{\Delta L}$ del momento angular corresponde a una rotación del trompo alrededor del eje vertical de:

$\Delta \phi={\Delta L\over L\sin\theta}$

El eje de rotación del trompo gira alrededor del eje vertical con una velocidad de precesión:

$\Omega_p={\Delta \phi\over\Delta t}={{\Delta L\over L\sin\theta }\over\Delta t}={{\tau\Delta t\over L\sin\theta }\over\Delta t}= {mgr\sin\theta \over L\sin\theta }= {mgr\over L}$

Nótese que la velocidad de precesión no depende del ángulo de inclinación del trompo. Esto es muy importante para el funcionamiento de la resonancia magnética nuclear y de sus aplicaciones.