Teleportación cuántica

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El teletransporte cuántico consiste en la transmisión de información de un lugar a otro de forma aparentemente inmediata. Esto estaría poniendo en cuestión la teoría de la relatividad; para evitar esto se puede recurrir a la teoría de John S. Bell que dice que la partícula entrelazada viajaría hacia el punto de origen en el pasado, compartiría la información y regresaría a nuestro punto, de modo que si nosotros realizamos una medición en una partícula A ésta se vera complementada en la partícula B.

A continuación se presenta un experimento realizado en el CERN a través de qubits y computación cuántica:

El objetivo de esta técnica es transmitir un qubit entre Alice (emisor) y Bob (receptor) mediante el envío de dos bits clásicos. Previamente, Alice y Bob deberán compartir un estado entrelazado (entangled).

Los pasos a seguir por Alice y Bob son los siguientes.

Alice y Bob preparan un estado entrelazado como el que sigue $\beta_{00} = \frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})$ .
Alice se queda con el primer qubit del par y Bob se lleva el segundo.
Alice aplica CNOT entre el qubit a transmitir y el primero del par $β 00$ .
Alice aplica Hadamard al primero de sus dos qubits, luego realiza una medición sobre ambos y envía el resultado de la medición (2 bits clásicos) a Bob.
Bob aplica una transformación sobre su qubit, de acuerdo a los bits recibidos, basándose en la siguiente tabla

Bits recibidos	Compuerta a aplicar
$00$	$I$
$01$	$X$
$10$	$Z$
$11$	$Z X$

Donde $I$ es la matriz de identidad, $X$ es la matriz de Pauli $σ x$ y $Z$ la $σ z$ .

El circuito completo queda de la siguiente manera

donde ${\left\vert{\psi}\right\rangle}$ es el qubit a teleportar.

Veamos, sea

${\left\vert{\psi}\right\rangle}=\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}$

entonces

${\left\vert{\psi}\right\rangle} \otimes \beta_{00}$ $=(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle})\left(\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})\right)$ $=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})\right)$ ${\;{{CNOT(1,2)} \atop \longrightarrow}\;} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}({\left\vert{10}\right\rangle}+{\left\vert{01}\right\rangle})\right)$ ${\;{{H(1)} \atop \longrightarrow}\;} \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{0}\right\rangle}+{\left\vert{1}\right\rangle})({\left\vert{00}\right\rangle}+{\left\vert{11}\right\rangle})+\beta\frac{1}{\sqrt{2}}({\left\vert{0}\right\rangle}-{\left\vert{1}\right\rangle})({\left\vert{10}\right\rangle}+{\left\vert{01}\right\rangle})\right)$ $=\frac{1}{2}\left({\left\vert{00}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}+\beta{\left\vert{1}\right\rangle}) +{\left\vert{01}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{1}\right\rangle}+\beta{\left\vert{0}\right\rangle}) +{\left\vert{10}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{0}\right\rangle}-\beta{\left\vert{1}\right\rangle}) +{\left\vert{11}\right\rangle}(\alpha{\left\vert{1}\right\rangle}-\beta{\left\vert{0}\right\rangle})\right)$ $=\frac{1}{2}\sum_{b_1b_2=0}^{1}{\left\vert{b_1 b_2}\right\rangle}(X^{b_2}Z^{b_1}){\left\vert{\psi}\right\rangle}$

Por lo tanto, aplicando $Z^{b_1}X^{b_2}$ Bob obtendrá el estado original ${\left\vert{\psi}\right\rangle}$ .