Teorema de Bolzano
De Wikipedia, la enciclopedia libre
Este artículo o sección necesita ser wikificado con un formato adecuado a las convenciones de estilo de Wikipedia.
Por favor, edítalo para cumplir con ellas. No elimines este aviso hasta que lo hayas hecho. ¡Colabora wikificando!
El Teorema de Bolzano, que es un caso especial del Teorema del valor intermedio, dice lo siguiente:
Sea f una función continua y acotada en un intervalo cerrado [a, b]. Si f toma valores de signos distintos en los extremos de los mismos, entonces se anula al menos en un punto interior del intervalo, es decir: Si f continua en [a, b], f(a)·f(b) < 0 entonces existe c perteneciente a (a, b) tal que f(c)=0.
En palabras más simples, lo que viene a decir el teorema de Bolzano es lo siguiente:
Suponiendo que el eje de abscisas (eje x) fuese un río, y el segmento (a, b) un camino que hemos de seguir: si en el punto a, la gráfica está en un lado del río (tiene valor negativo) y en el punto b está en el otro lado del río(tiene valor positivo) y la gráfica es contínua en ese segmento, lógica y obligatoriamente ha de cortar por lo menos en un punto con el eje x (el río).
[editar] Demostración
Suponer que f'(a) < 0 y f(b) > 0 (en caso contrario se demuestra de manera análoga)
Sea Z1 = (a + b)/2
Si f(Z1) = 0, ya estaría con c = Z1, sino hay dos posibilidades, f(Z1) > 0 y f(Z1) < 0
Si f(Z1) > 0, entonces X1 = a e Y1=Z1
Si f(Z1) < 0, entonces X1 = Z1 e Y1 = b
Sea Z2 = (X1 + Y1)/2
Si f(Z2) = 0,ya estaría con c = Z2, sino hay dos posibilidades, f(Z2) > 0 y f(Z2) < 0
Si f(Z2) > 0,entonces X2 = X1 e Y2 = Z2
Si f(Z2) < 0,entonces X2 = Z2 e Y2 = Y1
Repetimos el proceso iterativamente.
Observar que In=[Xn, Yn] está contenido en [a, b], que la longitud del invervalo es [1/(2^n)].(b - a), sucesión que tiende a 0, y que f(Xn) < 0 y f(Yn) > 0 para todo n. Estas condiciones cumplen las impuestas en el Teorema de Cantor de los intervalos encajados, por tanto la intersección infinita de la sucesión In es igual a un c tal que es el límite de Xn y el límite de Yn. Por otra parte como f es continua, f(c) = lim f(Xn) menos o igual que 0 y f(c) = lim f(Yn) mayor o igual que cero, por tanto f(c) = 0
Finalmente como f(a) < 0 y f( b ) > 0 (por hipótesis), c distinto de a y de b, luego es un punto interior como habíamos dicho.
