Teorema de Cantor

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El teorema de Cantor es un resultado formalizable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fränkel, que afirma que el conjunto de partes de un conjunto de cualquier conjunto A tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la cardinalidad del propio A.

[editar] Discusión

El teorema de Cantor es obvio para conjuntos finitos: si un conjunto finito tiene n elementos entonces el conjunto de partes de ese conjunto tiene 2ⁿ elementos. El hecho de que para sea válido para todo conjunto infinito no es del todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes:

Existe una infinidad de cardinales transfinitos, lo cual significa que en realidad que existe muchos tipos de infinito (de hecho una infinidad) cada uno mayor que el anterior. Este resultado a priori es muy poco intuitivo, pero terriblemente importante en la fundamentación de las matemáticas.
No existe un conjunto que contenga a todos los demás conjuntos.
No existe ninguna manera de enumerar todos los subconjuntos de $\N$ .

Para ilustrar la validez de este teorema para conjuntos infinitos se reproduce a continuación una demostración.

[editar] Demostración

Consideremos una función cualquiera f de A en el conjunto de partes de A, entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que f no es sobreyectiva (exhaustiva). Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningún elemento de A a través de f. Cantor consideró un conjunto particular B definido como:

$B=\left\{\,x\in A : x\not\in f(x)\,\right\}.$

Y probó que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningún elemento de A. El argumento que construyó Cantor es por reducción al absurdo presuponiendo de partida que f si es sobreyectiva, y entonces el argumento va como sigue:

Puesto que f es sobreyectiva, entonces existe $a\in A: B = f(a)$ puesto que B es un subconjunto de A.
Ahora tratemos de ver si $a\in B$ o bien $a\notin B$ . Supongamos en primer lugar que a pertenece a B, entonces por la definición de B se tiene que a no pertenece, lo cual es contradictorio. Por otro lado si suponemos que a no pertenece a B, entonces por la definición de B, a debe ser un elemento de B lo cual es una contradicción de nuevo.
Por tanto llegamos al caso de que si existe un a cuya imagen sea el conjunto B entonces irremisiblemente llegamos a contradicción, por tanto la única salida es suponer que dicho a no existe y por tanto f no puede ser sobreyectiva, como queríamos demostrar.