Теорема Кантора
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В теории множеств теорема Кантора гласит, что
|
Любое множество менее мощно, чем множество всех его подмножеств. |
[править] Доказательство
Предположим, что существует множество A, равномощное множеству всех своих подмножеств 2A, то есть что есть биекция f, ставящая в соответствие каждому элементу множества A некоторое подмножество множества A. Рассмотрим множество 
f биективно, а 
, поэтому существует 
такой, что f(y) = B. Теперь посмотрим, может ли y принадлежать B. Если 
, то 
, а тогда, по определению B, 
. И наоборот, если , то 
, а следовательно, . В любом случае, получаем противоречие. Следовательно, исходное предположение ложно и A не равномощно 2A. Заметим, что 2A содержит подмножество, равномощное A (например, множество всех одноэлементных подмножеств A), а тогда из только что доказанного следует | 2A | > | A |
[править] Ссылки
- Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
