Teorema del seno

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Fig. 1 - Notaciones habituales en un triángulo cualquiera.

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Consideramos un triángulo cualquiera ABC, representado en la Fig. 1 contigua, donde los ángulos son designados por las letras minúsculas griegas y los lados opuestos a los ángulos por la minúscula latina correspondiente:

a = BC y α = ángulo formado por [AB] y [AC];
b = AC y β = ángulo formado por [BA] y [BC];
c = AB y γ = ángulo formado por [CA] y [CB].

Entonces,

$\,\frac{a}{\sin\alpha} = \frac{b}{\sin\beta} = \frac{c}{\sin\gamma} = \frac{abc}{2 S} = 2R$ ,

donde R es el radio del círculo circunscrito en el triángulo ABC y

$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$

es el área de dicho triángulo a partir del semiperímetro p por la fórmula de Herón.

La relación de proporcionalidad es a veces resumida así:

$\,a\,:\,b\,:\,c = \sin\alpha\,:\,\sin\beta\,:\,\sin\gamma$

Fig. 2 - Resolución de un triángulo por el teorema del sinus

El teorema puede utilizarse

para determinar el radio del círculo inscrito

$\,R = \frac{a}{2\sin\alpha}$

para resolver un triángulo del cual conocemos un ángulo, un lado adyacente al ángulo y un lado opuesto (cf. Fig. 2 contigua)

$\gamma = \arcsin \frac{c\sin\beta}{b}$ .

Tabla de contenidos

1 Generalización en geometrías no euclídeas
- 1.1 Geometría esférica
- 1.2 Geometría hiperbólica
2 Generalización en el espacio euclídeo
3 Véase también
4 Bibliografía

[editar] Generalización en geometrías no euclídeas

Fig. 3 - Triángulo esférico: dimensiones reducidas a, b y c ; ángulos α, β y γ.

Para una superficie no euclídea de curvatura K, denotamos con ρ el radio de curvatura. Verifica

$\,\rho = 1/\sqrt{|K|}$ .

Definimos entonces las dimensiones reducidas del triángulo:

$\,a = BC/\rho$ ,

$\,b = AC/\rho$ ,

$\,c = AB/\rho$ .

En el caso de un triángulo esférico, a, b y c corresponden a la medida angulair de los segmentos de grande arco [BC], [AC] y [AB] (ver Fig. 3).

[editar] Geometría esférica

En un triángulo esférico ABC dibujado en la esfera de centro O y de radio ρ (Fig. 3), el teorema del sinus se escribe

$\frac{\sin a}{\sin\alpha} = \frac{\sin b}{\sin\beta} = \frac{\sin c}{\sin\gamma} = \frac{6 V_{\mathrm{OABC}}}{\rho^3\sin a\,\sin b\,\sin c}$ ,

donde V_OABC es el volumen del tetraedro OABC.

[editar] Geometría hiperbólica

En un triángulo hiperbólico, el teorema del sinus se escribe

$\frac{\sinh a}{\sin\alpha} = \frac{\sinh b}{\sin\beta} = \frac{\sinh c}{\sin\gamma}$ .

[editar] Generalización en el espacio euclídeo

Consideramos un tetraedro A₁A₂A₃A₄ del espacio euclídeo. La figura 3 contigua presenta las notaciones referentes a los vértices, caras y ángulos en el tetraedro:

Fig. 3 - Tetraedro: caras y ángulos dibujados.

$\,\mathrm S_k$ la cara opuesta al vértice $\mathrm A_k\$ ;
$\,s_k$ la superficie de $\mathrm S_k\$ ;
$\,\Delta_k$ el plano que contiene $\mathrm S_k\$ ;
$\,\theta_{ij}$ el ángulo diedral $\widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}$ .

Definimos el sinus del ángulo triedral formado por los vértices $A 1$ , etc. como sigue

$\sin A_1 = \frac{\sqrt{1-\cos^2\theta_{23}-\cos^2\theta_{24}-\cos^2\theta_{34}-2\cos\theta_{23}\cos\theta_{24}\cos\theta_{34} }}{\sin\theta_{23}\sin\theta_{24}\sin\theta_{34}}$ ;
etc.