GeometrÃa no euclÃdea
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Se denomina geometrÃa no euclÃdea a cualquier forma de geometrÃa cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los postulados de la geometrÃa convencional formulada por Euclides. El primer ejemplo de geometrÃa no euclÃdea fue la geometrÃa hiperbólica, construida independientemente por varios autores a principios del siglo XIX.
Los primeros ejemplos de geometrÃas no euclÃdeas se lograron tratando de construir modelos explÃcitos en el que el quinto postulado de Euclides fuera falso.
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[editar] Historia
Immanuel Kant fue el primero en concebir la posibilidad de una geometrÃa diferente de la geometrÃa clásica desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides en la obra Los elementos. En su primera obra publicada, Gedanken von der wahren Schätzung der lebendigen Kräfte und Beurteilung der Beweise derer sich Herr von Leibniz und anderer Mechaniker in dieser Streitsache bedient haben (1746), Kant considera espacios de más de tres dimensiones y afirma:
Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio serÃa sin duda la empresa más elevada que un entendimiento finito podrÃa acometer en el campo de la GeometrÃa.... Si es posible que existan extensiones con otras dimensiones, también es muy probable que Dios las haya traÃdo a la existencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad de que son capaces.
Esas posibles geometrÃas que Kant entrevé son las que hoy se llamarÃa geometrÃas euclÃdeas de dimensión mayor que 3.
Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción al absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontró que existÃan geometrÃas coherentes diferentes de la euclÃdea. Se habÃa descubierto asà la primera geometrÃa no euclÃdea (en concreto el primer ejemplo que se logró era una geometrÃa llamada hiperbólica).
[editar] GeometrÃa hiperbólica
A principios del siglo XIX, y de modo independiente, Gauss (1777-1855), Lobachevsky (1792-1856), János Bolyai y Ferdinand Schweickard lograron construir la geometrÃa hiperbólica, a partir del intento de negar el quinto postulado de Euclides y obtener una contradicción. En lugar de obtener una contradicción lo que obtuvieron fue una curiosa geometrÃa en la que los tres ángulos de un triángulo tenÃan ángulos que juntos sumaban menos de 180º (en la geometrÃa euclÃdea los ángulos de cualquier triángulo suman siempre exactamente 180º).
La naturalidad de esta geometrÃa quedó confirmada a finales del siglo, cuando Beltrami demostró que la geometrÃa hiperbólica coincide con la geometrÃa intrÃnseca de cierta superficie y Klein dio la interpretación proyectiva de la geometrÃa hiperbólica. Ambos resultados prueban que es tan consistente como la GeometrÃa euclÃdea (es decir, si la geometrÃa hiperbólica lleva a alguna contradicción, entonces la geometrÃa euclÃdea también).
Algunos afirman que Gauss fue el primero en considerar la posibilidad de que la geometrÃa del Universo no fuera la euclÃdea. Sabiendo que en la geometrÃa hiperbólica la suma de los ángulos de cualquier triángulo es menor que dos rectos, se dice que subió a la cima de tres montañas con un teodolito, aunque la precisión de sus instrumentos no fue suficiente para decidir la cuestión con tal experimento. Sin embargo, otros afirman que cuando escribió que trataba de corregir los efectos de posibles curvaturas se referÃa a corregir el efecto de la curvatura terrestre en los estudios cartográficos que estaba realizando.
[editar] GeometrÃa riemanniana
A propuesta de Gauss, la disertación de Riemann versó sobre la hipótesis de la GeometrÃa. En su tesis, Riemann considera las posibles geometrÃas que infinitesimalmente (i.e. en regiones muy pequeñas) sean euclÃdeas, cuyo estudio se conoce hoy en dÃa como geometrÃas riemannianas.
Para el estudio de estas geometrÃas Riemann introdujo el formalismo del tensor de curvatura y demostró que la geometrÃa euclÃdea es un caso particular de geometrÃa riemanninana, caracterizada por la anulación del tensor de curvatura (al menos localmente).
[editar] GeometrÃa del espacio-tiempo y teorÃa de la relatividad
Basándose en la ideas y resultados de Riemann, hacia 1920 Einstein aborda en su TeorÃa de la Relatividad general la cuestión de la estructura geométrica del Universo. En ella muestra cómo la geometrÃa del espacio-tiempo tiene curvatura, que es precisamente lo que se observa como campo gravitatorio, y cómo, bajo la acción de la gravedad, los cuerpos siguen las lÃneas más rectas posibles dentro de dicha geometrÃa, lÃneas que se denominan geodésicas.
Además, la Ecuación de Einstein afirma que para cada observador la curvatura media del espacio coincide, salvo un factor constante, con la densidad observada, dando cumplimiento asà a la fantástica visión de Gauss: que la GeometrÃa desentrañada por los griegos es la estructura infinitesimal del espacio, y que su estructura geométrica global tiene curvatura.