Hypergeometrinen sarja
Wikipedia
Hypergeometrinen sarja on potenssisarja, jonka peräkkäisten kertoimien suhde on rationaalifunktio. Jos sarja suppenee, sen summaa kutsutaan hypergeometriseksi funktioksi. Hypergeometriset funktiot ovat monia funktioluokkia yhdistävä konsepti: muun muassa gammafunktio, virhefunktio, Besselin funktiot ja ortogonaaliset polynomit ovat niiden erikoistapauksia.
Tavallisin hypergeometrinen funktio on 2F1, joka määritellään hypergeometrisena sarjana
eli aukikirjoitettuna
,
mikä suppenee välillä − 1 < x < 1, jos a, b ja c ovat reaalisia ja jos c − (a + b) > − 1. Ylempänä olevassa summamerkinnässä esiintyvä lyhennysmerkintä (k)n= k(k+1)(k+2)...(k+n-1) on Pochhammerin symboli. Hypergeometrinen funktio 
toteuttaa hypergeometrisen differentiaaliyhtälön
![x(x-1)\frac{d^2 y}{dx^2} + [c - (a + b + 1)x]\frac{dy}{dx} - aby = 0](../../../math/f/e/0/fe028f97482f457b799b5f364e391809.png)
.
Tämä on hyvin yleinen tapaus 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöstä ja asettamalla parametrien arvoja sopivasti, tästä yhtälöstä saadaan erikoistapauksina monet "tavallisemmat" differentiaaliyhtälöt.
