Matematiikka

Wikipedia

Wikikirjasto:Matematiikan kirjahylly

Eukleides, yksityiskohta Rafaelin teoksesta Ateenan koulu.

Matematiikka on deduktiiviseen päättelyyn perustuva looginen järjestelmä. Siinä käsitellään määriä, rakenteita, muutosta ja avaruuksia. Matemaattisen formalismin mukaan matematiikka on aksiomaattisesti määriteltyjen abstraktien rakenteiden tutkimista symbolisen logiikan ja matemaattisen merkintäjärjestelmän keinoin. Matematiikkaa käytetään fysikaalisten ja käsitteellisten suhteiden ilmaisemisen kielenä, jonka kielioppi ja käsitteistö on määritelty äärimmäisen tarkkaan. Tämä mahdollistaa asioiden ilmaisemisen yksikäsitteisesti, kun oletetaan loogisten rakenteiden pysyvän muuttumattomina.

Matematiikka ei tutki ympäröivää, fysikaalista todellisuutta, vaan käsitteellisiä riippuvuussuhteita. Tämän takia sitä ei yleensä lueta luonnontieteisiin. Vaikka matematiikan tutkimusongelmat tulevat usein luonnontieteistä, erityisesti fysiikasta, tutkitaan matematiikassa myös puhtaasti matematiikan sisäisiä alueita, joille ei ole (ainakaan vielä) löydetty sovellusalueita millään muulla tieteenalalla. Tällaiset matematiikan sisäisten tutkimusten tulokset voivat antaa hyödyllisiä työkaluja muiden matematiikan alueiden tutkimuksissa.

[muokkaa] Yleiskatsaus

Sana matematiikka tulee kreikan sanasta μάθημα (máthēma), joka tarkoittaa tiedettä, tietoa tai oppimista; μαθηματικός (mathematikós) tarkoittaa ”halukas oppimaan”.

Matematiikan pääalueet syntyivät käytännön tarpeista. Laskutaito oli hyödyllinen niin kaupankäynnissä, maanmittauksessa kuin tähtitieteellisten tapahtumien ennustamisessakin. Matematiikka on siis alun perin muiden tieteiden (lähinnä luonnontieteiden) työkalu ja tutkimustulosten tarkka ilmaisuväline. Matematiikan avulla voidaan teoreettisesti tarkastella käytännössä havaittuja asioita ja tehdä näistä tutkimustuloksista johtopäätöksiä.

Matematiikan pääosiksi mainitaan tavallisesti algebra, analyysi ja topologia, jotka jakaantuvat moniin osa-alueisiin.

Rakenteen tutkiminen alkaa numeroista ja luvuista, joista tutuimpia ovat luonnolliset luvut ja kokonaisluvut sekä näihin liittyvät laskutoimitukset. Lukuteoria tutkii lukujen syvempiä ominaisuuksia. Yhtälöiden ratkaisemisessa tarvittavien menetelmien tutkimus johtaa abstraktiin algebraan, jossa tutkitaan algebrallisia rakenteita ja niihin liittyviä laskutoimituksia.

Avaruuksien tutkiminen saa alkunsa geometriasta; ensin kehitettiin trigonometria ja euklidinen geometria. Myöhemmin näistä kehitettiin epäeuklidinen geometria.

Matemaatikot loivat lukuisia välttämättömiä käsitteitä tietokoneita kehitettäessä; näistä kehittyi edelleen informaatioteoria.

[muokkaa] Tärkeitä teemoja matematiikassa

Seuraava lista antaa vain yhden mahdollisen näkemyksen.

[muokkaa] Kvantiteetti

Kvantiteetti alkaa laskemalla ja mittaamalla

$1, 2, \ldots$	$\ldots, -1, 0, 1, \ldots$	$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, 0.125,\ldots$	$\pi, e, \sqrt{2},\ldots$	$i, 3i+2, e^{i\pi/3},\ldots$
Luonnollinen luku	Kokonaisluku	Rationaaliluku	Reaaliluku	Kompleksiluku

[muokkaa] Rakenne

Ajatuksia koosta, symmetriasta ja matemaattisesta rakenteesta.

$36 \div 9 = 4$
Aritmetiikka	Lukuteoria	Abstrakti algebra	Ryhmäteoria	Järjestysteoria

[muokkaa] Avaruus

Visuaalisempi lähestymistapa matematiikkaan.


Geometria	Trigonometria	Differentiaaligeometria	Topologia	Fraktaaligeometria

[muokkaa] Muutos

Tapa ilmaista ja käsitellä muutosta matemaattisissa funktioissa ja lukujen välillä.

		$\frac{d^2}{dx^2} y = \frac{d}{dx} y + c$
Matemaattinen analyysi	Vektorilaskenta	Differentiaaliyhtälöt	Dynaamiset järjestelmät	Kaaosteoria

[muokkaa] Perusteet ja metodit

Lähestymistapoja ymmärtämään matematiikan luonnetta.

$P \Rightarrow Q$
Matemaattinen logiikka	Joukko-oppi	Kategoriateoria

[muokkaa] Diskreetti matematiikka

Diskreetti matematiikka sisältää tekniikoita, jotka pätevät objekteihin, jotka voivat ottaa vain tiettyjä, erillisiä arvoja.

$[1,2,3][1,3,2]$ $[2,1,3][2,3,1]$ $[3,1,2][3,2,1]$
Kombinatoriikka	Laskennan teoria	Salakirjoitustekniikka	Graafiteoria

[muokkaa] Sovellettu matematiikka

Sovellettu matematiikka käyttää täyttä matematiikan tietoa ratkaisemaan tosielämän ongelmia.

Matemaattinen fysiikka – Mekaniikka – Numeerinen analyysi – Todennäköisyys – Tilastotiede – Matemaattinen talous – Finanssimatematiikka – Peliteoria – Matemaattinen biologia – Kryptografia – Tietokoneavusteinen matematiikka

[muokkaa] Tärkeitä teoreemia

Nämä teoriat ovat kiinnostaneet matemaatikkoja ja ei-matemaatikkoja.

De Moivren kaava- Eulerin lause - Fermat'n suuri lause - Goldbachin väittämä - Poincarén väittämä - Pythagoraan teoreema - Riemannin hypoteesi

[muokkaa] Tärkeitä konjektuureja

Nämä ovat joitain suurimmista ratkaisemattomista ongelmista matematiikassa. Katso myös luettelo ratkaisemattomista matemaattisista ongelmista.

Goldbachin konjektuuri – Riemannin hypoteesi – Poincarén konjektuuri – Collatzin konjektuuri – P=NP? – avoimet Hilbertin ongelmat.

[muokkaa] Katso myös

[muokkaa] Kirjallisuutta

Boyer, Carl B. (1994): Tieteiden kuningatar: Matematiikan historia. Osat I–II. (Alkuteos: A history of mathematics, 1985). Helsinki: Art House. ISBN 951-884-150-0 ja ISBN 951-884-158-6.

Derbyshire, John (2006): Alkulukujen lumoissa: Bernhard Riemann ja matematiikan suurin ratkaisematon ongelma. (Alkuteos: Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics, 2003.) Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita. ISBN 952-5202-75-5.

Deutsch, David (1997): Todellisuuden rakenne. (Alkuteos: The Fabric of Reality: The Science of Parallel Universes and Its Implications, 1997.) Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita. ISBN 951-0-27916-1.

Ekeland, Ivar (2004): Paras mahdollisista maailmoista: Matematiikka ja kohtalo. (Alkuteos: Le meilleur des mondes possibles: Mathématiques et destinée, 2000.) Suomentanut Susanna Maaranen. Esipuheen laatinut Osmo Pekonen. Helsinki: Art House. ISBN 951-884-306-6.

Michael Guillen: Silta äärettömyyteen - Matematiikan inhimillinen puoli, Terra Cognita, 1997 ISBN 952-5202-01-1

Hartikainen, Erkki, Kyösti Kiiskinen & Jussi Rastas (toim.) (2005): Suomalaisen filosofian ’enfant terrible’: Kriittinen ajattelija ja tiedepoliittinen keskustelija: Juhlakirja tohtori Pertti Lindforsin 75-vuotispäivänä: Monitieteinen antologia. Sisältää tekstiä suomeksi, englanniksi ja saksaksi. Helsinki: Luonnonfilosofian seura. ISBN 951-98191-1-8.

Hodges, Andrew (2000): Alan Turing, arvoitus. (Alkuteos: Alan Turing: The enigma, 1992.) Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita. ISBN 952-5202-14-3.

Hannu Karttunen: Tiedettä kaikille: Matematiikka (Ursa)

Pekonen, Osmo (toim.) (1992): Symbolien metsässä: Matemaattisia esseitä. Helsinki: Art House. ISBN 951-884-103-9.

Rucker, Rudy (1998): Mieli ja äärettömyys: Äärettömyyden tiedettä ja filosofiaa. (Alkuteos: Infinity and the mind: The Science and Philosophy of the Infinite, 1982.) Suomentanut Markus Hotakainen. Helsinki: Art House. ISBN 951-884-222-1.

[muokkaa] Aiheesta muualla

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../m/a/t/Matematiikka.html

Luokka: Matematiikka