Millerin indeksit

Wikipedia

Esimerkkejä kidesuunnista.

x

y

z

vastaavat yksikkökopin hilavektoreita $\vec a$ , $\vec b$ ja $\vec c$ .

Kristallografiassa Millerin indeksit ovat notaatio, jolla kiderakenteen suunnat ja tasot sekä diffraktogrammien heijastukset merkitään. Indeksointijärjestelmä on nimetty 1800-luvulla eläneen mineralogin ja kristallografin William Hallowes Millerin mukaan.

Millerin indeksit merkitään kirjaimilla $h$ , $k$ ja $l$ , jotka vastaavat Bravais'n hilan yksikkökopin hilavektoreita $\vec a$ , $\vec b$ ja $\vec c$ .

On sovittu, että indeksit $h$ , $k$ ja $l$ ovat aina kokonaislukuja. Negatiivista indeksiä, esimerkiksi $- h$ , merkitään perinteisesti viivalla Millerin indeksin yläpuolella $\overline{h}$ .

Millerin indeksien ympärillä olevat sulkeet kertovat paljon. Hakasuluissa olevat millerin indeksit $[h k l]$ viittaavat kidesuuntaan, kaarisulkeissa olevat $(h k l)$ kidetasoon. Merkintä $< h k l >$ tarkoittaa niiden kidesuuntien joukkoa, jotka ovat symmetrisesti ekvivalentteja ja ${h k l}$ tarkoittaa vastaavasti symmetrisesti ekvivalentteja tasoja. Ilman sulkeita $h k l$ Millerin indeksit viittaavat diffraktiomaksimiin, joka tulee kidetasosta $(h k l)$ .

[muokkaa] Kidesuunnat

Kidesuunnat merkitään hakasulkeilla $[h k l]$ . Suunta on

$h\vec a + k\vec b + l\vec c$ .

Esimerkiksi suunta $[100]$ vastaa kiteessä hilavektorin $\vec a$ suuntaa. $[200]$ on samaan suuntaan ja $[112]$ on suuntaan $\vec a + \vec b + 2\vec c$ .

[muokkaa] Tasot

Tasoja kuutiollisessa hilassa.

Tasot merkitään kaarisulkeilla $(h k l)$ . Taso virittyy avaruuteen vektoreiden

$\frac{\vec a}{h}$ , $\frac{\vec b}{k}$ ja $\frac{\vec c}{l}$

kärkien muodostaman kolmen pisteen kautta.

Jos joku indekseistä on nolla, taso ei leikkaa sitä vastaavaa yksikkökopin akselia vaan kohtaa sen "äärettömyydessä". Siispä kuutiollisessa hilassa taso $(300)$ leikkaa vain hilavektorin $\vec a$ . Yhteen yksikkökoppiin mahtuu kolme sellaista tasoa korkeuksille $0$ , $a / 3$ ja $2 a / 3$ suuntaan $\vec a$ .

Oletetaan, että taso leikkaa hilavektorit kohdissa $\frac{3}{5}\vec a$ , $\frac{1}{2}\vec b$ ja $\frac{1}{5}\vec c$ . Tällöin Millerin indeksit eivät olisi kokonaislukuja vaan $(\frac{5}{3}\ 2\ 5)$ . On kuitenkin sovittu, että indeksit merkitään aina kokonaisluvuilla, joten taso merkitäänkin $(5\ 6\ 15)$ , missä kaikki indeksit on kerrottu luvulla 3. Indekseillä ei myöskään saa olla yhteistä tekijää, mikä sulkee pois sieventämiset esimerkiksi luvulla 6.

Suunta $[h k l]$ on kohtisuora tasoa $(h k l)$ vastaan kuutiollisessa hilassa, mutta ei välttämättä muissa hiloissa.

[muokkaa] Diffraktio

Diffraktogrammin eli esimerkiksi röntgendiffraktiomittauksella kiteisestä aineesta saadun kuvaajan diffraktiomaksimit indeksoidaan Millerin indekseillä ilman sulkeita $h k l$ . Maksimi vastaa tällöin heijastusta kidetasosta $(h k l)$ .