Pisteprosessi

Wikipedia

Pisteprosessi on matemaattinen malli, jossa käsiteltävä maailmanilmiö muodostuu pisteittäisistä havainnoista, esimerkiksi maastossa olevien puulajien sijainneista. Pisteprosessien avulla yritetään oppia systeemin tilajärjestyksestä käyttämällä yksittäisten havaintojen tuomaa informaatioita hyväksi. Pisteprosessiteoria on osa yleisempää stokastisen geometrian teoriaa.

Huom: Pisteprosessilla voidaan myös tarkoittaa aikaparametrisoitua stokastista prosessia, jolloin satunnaismuuttujan tila-avaruus on spatiaalisen avaruuden (dimensio >1) sijaan esim. reaaliakseli. Tämän tulkinnan mukaan on määritelty englanninkielisen wikipedian artikkeli .

[muokkaa] Määritelmä

Olkoon $[\Omega,\mathcal{F},\mathbf{P}]$ todennäköisyysavaruus. Määritellään yksinkertaisten reaalilukujen jonojen joukko $\mathbb{D}:=\{\{x_{n}\}: x_{n}\in\mathbb{R}^{d}, x_{n}\neq x_{m}\ \textrm{ kun}\ n\neq m, \#\{A\cap\{x_{n}\}\}<\infty, A\ \textrm{ rajoitettu}\}$ , jossa leikkausominaisuus määrittelee ns. lokaalin äärellisyyden. Olkoon $\mathcal D:=\sigma(\mathbb{D})$ tästä joukosta muodostettu sigma-algebra, ja määritellään kuvaus

$\varphi:\Omega\longrightarrow\mathbb{D}$ .

Kuvaus $φ$ on pisteprosessi, jos se on $[\Omega,\mathcal{F}]-[\mathbb{D},\mathcal{D}]$ -mitallinen, ts. jos

$\varphi^{-1}(Y):=\{\omega\in\Omega:\varphi(\omega)\in Y\}\in \mathcal{F}$

kaikilla $Y\in \mathcal{D}$ .

[muokkaa] Tulkinta

Pisteprosessilla $φ$ on kaksi tulkintaa:

1. $\varphi$ on satunnainen joukko, eli $x\in\varphi(\omega) \Leftrightarrow x$ kuuluu satunnaiseen jonoon ${x n}$ .

2. $\varphi$ on satunnainen laskentamitta, eli kaikille Borel-joukoille $\varphi(B)=n \Leftrightarrow B$ sisältää $n$ pistettä prosessista $\varphi$ .

Pisteprosessien yhteydessä määritellään käsitteet stationaarisuus ja isotrooppisuus, joista ensimmäinen kuvaa pisteiden jakauman siirtoriippumattomuutta ja jälkimmäinen kuvaa riippumattomuutta suunnan (kierron) suhteen.

Pisteprosessit voidaan myös laajentaa merkkisiin tapauksiin lisäämällä sijaintitietojen $x n$ rinnalle merkkitieto $m n$ , jolloin saadaan uusi prosessi, ns. merkkinen pisteprosessi $ψ = [{x n},{m n}]$ .

[muokkaa] Perustyökaluja

Pisteprosessi ja K-funktion estimaatti. Katkoviivalla merkittyyn täysin satunnaiseen tilaan verrattuna voidaan nähdä, että kyseinen pisteprosessi sisältää lyhyillä etäisyyksillä repulsiivista käyttäytymistä.

Pisteprosessien tilajärjestyksen tutkimiseen on kehitetty useita eri työkaluja, ja niistä useimmin käytettyjä ovat seuraavat datasta estimoitavat (stationaarisessa tapauksessa):

1. Intensiteetti $λ$ , joka kuvaa pisteiden keskimääräistä lukumäärää pinta-alayksikköä kohden.

2. $K (r)$ -funktio, joka kuvaa pisteiden lukumäärän jakautumista $r$ -säteisessä pallossa, kun pallon keskipisteenä on satunnainen prosessin piste.

3. $H s (r)$ -funktio, joka kuva tyhjän tilan jakautumista prosessissa huomioimalla $r$ -säteiseen palloon osuvat pisteet keskipisteen ollessa satunnaisessa alueen pisteessä.

4. $D k (r)$ -funktio, joka on jakauma $k$ :nnen naapurin etäisyydelle.

Jokaisesta em. funktiosta on monia eri versioita, esim. reunakorjattuja versioita jotka ottavat havaintoalueen rajallisuuden huomioon.

Datan pikaisessa tutkimisessa tulkinta funktioden antamasta kuvaajasta tehdään vertaamalla kuvaajan muotoa täydellisen satunnaisuuden tilaan, eli Poisson-prosessin tuottamaan vastaavaan funktion arvoon.