Polynomin jakokulma

Wikipedia

Polynomin jakaminen jakokulmassa on tavallisen jakokulman tapainen algoritmi, jolla voi jakaa kaksi polynomia.

Jakolasku

$\frac{P(x)}{Q(x)} = R(x)$

merkitään jakokulmassa näin:

$\begin{matrix} \qquad\qquad\ R(x) \\ \qquad\quad Q(x) \overline{\vert P(x)}\\ \end{matrix}$

Toinen tapa laskea polynomin juuria on synteettinen jako.

[muokkaa] Algoritmi

Halutaan laskea:

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3}$

Merkitään jaettava ja jakaja jakokulmaan (huomaa, että vaikka termiä x ei ole, merkitään se kerrottuna nollalla):

$x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}$

1. Jaetaan jaettavan ensimmäinen termi (x³) jakajan suurimmalla termillä (x). Siirretään tulos kulman ylle (x³ ÷ x = x²).

$\begin{matrix} x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42} \end{matrix}$

2. Kerrotaan jakaja (x-3) juuri saadulla tuloksella (x²). Kirjoitetaan tulo ensimmäisten kahden termin alle (x² * (x-3) = x³ - 3x²).

$\begin{matrix} x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \qquad\;\; x^3 - 3x^2 \end{matrix}$

3. Vähennetään termeittäin. ((x³-12x²) - (x³-3x²) = -12x² + 3x² = -9x²) Sitten pudotetaan seuraava termi alas.

$\begin{matrix} x^2\\ \qquad\qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \qquad\;\; \underline{x^3 - \quad3x^2}\\ \qquad\qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x \end{matrix}$

4. Toistetaan kohdat 1-3 mutta käytetään nyt jaettavana erotusta, joka juuri saatiin.

$\begin{matrix} \; x^2 - 9x\\ \qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\ \qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\ \qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42 \end{matrix}$

5. Toistetaan kunnes ei ole pudotettavaa.

$\begin{matrix} \qquad\quad\;\, x^2 \; - 9x \quad - 27\\ \qquad\quad x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \;\; \underline{\;\;x^3 - \;\;3x^2}\\ \qquad\qquad\quad\; -9x^2 + 0x\\ \qquad\qquad\quad\; \underline{-9x^2 + 27x}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad -27x - 42\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \underline{-27x + 81}\\ \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\;\; -123 \end{matrix}$

Polynomi, joka saatiin viivan yläpuolelle, on osamäärä ja (-123) jakojäännös.

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x-3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x-3}$

Tämä tapa on tavallisen ala-asteella opetettavan jakokulman tyyppinen.

[muokkaa] Synteettinen jako

Synteettisessä jaossa, jota joskus kutsutaan myös Ruffinin säännöksi keksijänsä (1809) Paolo Ruffinin mukaan, metodi on lyhyempi, mutta sen taustalla ovat samat laskutoimitukset. Synteettinen jako toimii kuitenkin vain binomeilla jaettaessa.

Käsitellään samaa esimerkkiä kuin äsken:

$x-3\overline{\vert x^3 - 12x^2 + 0x - 42}$

Otetaan termien kertoimet. Jakajabinomista x + b otetaan palkin vasemmalle puolelle -b, jotta voidaan laskutoimituksissa käyttää helpompaa lisäämistä eikä vähentämistä.

$\begin{matrix} 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \end{matrix}$

Vaihdettiin -3 siis 3:ksi. Pudotetaan ensimmäinen luku alas kolmannelle riville.

$\begin{matrix} 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \\ & | & & & & \\ & | & 1 & & & \\ \end{matrix}$

Kerrotaan pudotettu luku (1) jakajalla (3) ja sijoitetaan se seuraavan luvun alapuolelle toiselle riville.

$\begin{matrix} 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \\ & | & & 3 & & \\ & | & 1 & & & \\ \end{matrix}$

Lisätään sarakkeen luvut toisiinsa ja sijoitetaan summa kolmannelle riville.

$\begin{matrix} 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \\ & | & & 3 & & \\ & | & 1 & -9 & & \\ \end{matrix}$

Toistetaan edellisiä, ja lopuksi saadaan seuraavaa:

$\begin{matrix} 3 & | & 1 & -12& 0 & -42 \\ & | & & 3 & -27 & -81 \\ & | & 1 & -9 & -27 & -123 \\ \end{matrix}$

Luvut tarkoittavat osamäärän termien kertoimia, ja viimeinen luku on jakojäännös. Ensimmäinen luku (1) tarkoittaa tässä toisen asteen termin kerrointa, toinen luku ensimmäisen asteen ja kolmas nollannen asteen eli vakion kerrointa. Termien asteet luetaan siis kasvavasti oikealta vasemmalle, ja jakojäännöksen vasemmalla puolella olevan luvun aste on 0.

Jakolaskun tulos on siis:

$\frac{x^3 - 12x^2 - 42}{x - 3} = x^2 - 9x - 27 - \frac{123}{x - 3}$