Divisione dei polinomi
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In matematica, la divisione dei polinomi è un algoritmo che permette di trovare il quoziente tra due polinomi, di cui il secondo di grado non superiore al primo. È un'operazione che si può svolgere a mano, poiché spezza il problema in varie divisioni tra monomi, facilmente calcolabili.
Ricordiamo che, se i polinomi sono a coefficienti reali (o più in generale in un campo) per ogni coppia di polinomi A(x) e B(x) esistono unici altri due polinomi Q(x) e R(x) tali che
posto che il grado di R(x) sia minore di quello di B(x). Questo fatto è proprio degli anelli euclidei, come sono gli anelli di polinomi costruiti su un campo.
Indice |
[modifica] L'algoritmo
1) Per prima cosa si scrivono i due polinomi in questo modo, facendo attenzione a scrivere esplicitamente anche i termini nulli di A (ad esempio, x2-1 andrà scritto come x2+0x-1).
A(x) | B(x)
|--------
|
|
|
|
2) Si divide il termine di grado massimo di A per il termine di grado massimo di B e si scrive il risultato sotto B.
anxn + ... + a0 | bmxm + ... + b0
|-----------------
| anxn
| --- = qkxk
| bmxm
|
3) Si moltiplica questo termine qkxk per il polinomio B e si scrive il risultato sotto A, incolonnando ogni termine sotto il termine di A di grado uguale.
anxn + ... + a0 | bmxm + ... + b0
|-----------------
bmqkxm+k + ... + qkxk | anxn
| --- = qkxk
| bmxm
|
4) Si esegue la sottrazione tra A e il polinomio scritto sotto di esso. Per costruzione, il termine in xn si eliderà, lasciando un polinomio di grado minore (n-1 o anche meno).
anxn + ... + a0 | bmxm + ... + b0
|-----------------
bmqkxm+k + ... + b0qkxk | anxn
-------------------- | --- = qkxk
// + rn-1xn-1... + r0 | bmxm
|
5) Se il grado di questo polinomio differenza R1 è non inferiore a quello di B si ripetono le operazioni da 2 a 4 considerando adesso R1 come divisore e aggiungendo il termine 
a destra del termine qkxk, come addendo successivo.
6) Quando si sarà raggiunto un polinomio Ri di grado inferiore a B, allora tale polinomio Ri sara il resto R della divisione; il polinomio Q(x) = qkxk + qk − 1xk − 1 + ... + q0, formatosi mano a mano sotto B, sarà invece il polinomio quoziente.
[modifica] Esempio
Sia A(x) = 3x4 − x3, B(x) = x2 − 2: Passo 1:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
|
|
|
|
Passo 2:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
| 3x2
|
|
|
Passo 3:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
3x4 + 0 -6x2 + 0 + 0 | 3x2
|
|
|
Passo 4:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
3x4 + 0 -6x2 + 0 + 0 | 3x2
-----------------------|
// - x3 + 6x2 + 0 + 0 |
|
Il grado di - x3 + 6x2 è maggiore di quello di B, dunque iteriamo il procedimento: Passo 2b:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
3x4 + 0 -6x2 + 0 + 0 | 3x2 - x
-----------------------|
// - x3 + 6x2 + 0 + 0 |
|
Passo 3b:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
3x4 + 0 -6x2 + 0 + 0 | 3x2 - x
-----------------------|
// - x3 + 6x2 + 0 + 0 |
|
- x3 + 0 + 2x + 0 |
Passo 4b:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
3x4 + 0 -6x2 + 0 + 0 | 3x2 - x
-----------------------|
// - x3 + 6x2 + 0 + 0 |
|
- x3 + 0 + 2x + 0 |
-------------------|
// 6x2 - 2x + 0 |
Passo 2c:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
3x4 + 0 -6x2 + 0 + 0 | 3x2 - x + 6
-----------------------|
// - x3 + 6x2 + 0 + 0 |
|
- x3 + 0 + 2x + 0 |
-------------------|
// 6x2 - 2x + 0 |
Passo 3c:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
3x4 + 0 -6x2 + 0 + 0 | 3x2 - x + 6
-----------------------|
// - x3 + 6x2 + 0 + 0 |
|
- x3 + 0 + 2x + 0 |
-------------------|
// 6x2 - 2x + 0 |
|
6x2 + 0 - 12 |
Passo 4c:
3x4 - x3 + 0 + 0 + 0 | x2 - 2
|------------
3x4 + 0 -6x2 + 0 + 0 | 3x2 - x + 6
-----------------------|
// - x3 + 6x2 + 0 + 0 |
|
- x3 + 0 + 2x + 0 |
-------------------|
// 6x2 - 2x + 0 |
|
6x2 + 0 - 12 |
-------------|
// - 2x + 12 |
Siamo giunti a R(x) = − 2x + 12, che ha grado strettamente minore di B(x) = x2 − 2, dunque R è il resto e Q(x) = 3x2 − x + 6 è il quoziente, cioè
- 3x4 − x3 = (x2 − 2)(3x2 − x + 6) − (2x + 12)
[modifica] Regola di Ruffini
 |
Per approfondire, vedi la voce Regola di Ruffini. |
Una versione più sintetica di questo procedimento è attuabile quando il divisore B è della forma B(x) = x − r o B(x) = ax − k, un binomio di primo grado. Tale regola è stata esposta da Paolo Ruffini per la prima volta nel 1809.
