Z-muunnos

Wikipedia

Z-muunnos on digitaalisen signaalinkäsittelyn työkalu, joka on diskreettiaikainen versio analogisessa sähkötekniikassa käytettävälle Laplace-muunnokselle. Lisäksi z-muunnos on yleistetty tapaus diskreettiaikaiselle Fourier-muunnokselle.

Olkoon jatkuva-aikaisesta signaalista näytteistetty sekvenssi muotoa:

$..., x - 2, x - 1, x 0, x 1, x 2,...$ .

Z-muunnos on muotoa:

$X(z)=\sum_{k=-\infty } ^{\infty } x_k z^{-k}$ .

Tällöin $X (z)$ kuvaa aikatason sekvenssin ${x k}$ z-tasoon. Muuttuja z on mielivaltainen kompleksiluku. Matemaattisesti, geometrisesti ja vektorilaskennallisesti voidaan ajatella, että tässä operaatiossa projisoidaan kaksi ääretönulotteista vektoria toisiinsa. Eli

$X (z) = x T z$ ,

missä vektorit $x$ ja $z$ saadaan muodostamalla näytteistetyt sekvenssit ${x k}$ ja ${z - k}$ ääretönulotteisiksi vektoreiksi.

Nähdään, että z-sekvenssi on joko eksponentiaalisesti divergoiva (laajeneva) tai konvergoiva (suppeneva), riippuen siitä, onko $| z | > 1$ vai $| z | < 1$ . Jos $| z | = 1$ , on kyseessä diskreettiaikainen Fourier-muunnos eli z-muunnos evaluoidaan tällöin yksikköympyrällä kompleksitasossa.

Siis z-muunnoksessa tutkitaan, onko aikatason signaalissa - tai suotimessa - komponentteja, jotka laajenevat tai suppenevat.

Z-muunnosta käytetään digitaalisessa signaalinkäsittelyssä erityisesti lineaaristen, aikainvarianttien (Linear Time Invariant, LTI) systeemien ja suotimien yhteydessä. Erityisesti jos $x n$ ja $y n$ ovat diskreettiaikaisia signaaleja ja jos $a$ ja $b$ ovat kompleksisia vakioita, niin

$ax_n + by_n \longrightarrow aX(z) + bY(z), z\in R_x \cap R_y$ ,

missä $R x$ ja $R y$ ovat muunnoksien $X (z)$ ja $Y (z)$ konvergenssialueita. Näillä kompleksitason alueilla

$|X(z)|,|Y(z)|<\infty$ .

Tässä tapauksessa pätee systeemin lineaarisuus. Aikainvarianssi tarkoittaa sitä, että ajallisesti siirretyn tai viivästetyn sisäänmenosignaalin vaste eli ulostulo on niin ikään viivästetty. Karkeasti voidaan sanoa, että tällöin systeemin parametrit eivät riipu ajasta; tämä ei ole kuitenkaan eksakti selitys, mutta oleellinen käytännön kannalta. Aikainvarianssi määritellään seuraavaan tapaan: jos S on systeemi ja D on viive-elementti, niin aikainvariantissa systeemissä

$S (D (x)) = D (S (x))$ .

Suodinsuunnittelussa suotimien kertoimet pyritään valitsemaan siten, että z-muunnos konvergoi. Tällöin puhutaan stabiilista systeemistä. Diskreettiaikainen LTI-systeemi voidaan jaotella joko äärellisen impulssivasteen (Finite Impulse Response, FIR) tai äärettömän impulssivasteen (Infinite Impulse Response, IIR) systeemeihin. FIR-suodin voidaan esittää äärellisenä summana

$y_n = \sum_{k=0}^{N-1} h_k x_{n-k}$ ,

missä ${h k}$ ovat suotimen kertoimet. Tässä tapauksessa suppeneminen on taattu, kun kertoimet ja sekvenssit ovat äärellisiä. FIR-suotimessa ei ole ulostulosignaalien takaisinkytkentää sisäänmenoon. Tämänlaisella suotimella voidaan toteuttaa ns. lineaarivaiheinen suodin, jonka kaikki taajuuskomponentit viivästyvät ajallisesti yhtä paljon, ts. signaalissa ei tapahdu tällöin vääristymistä. Jos halutaan toteuttaa suodin, jossa on vähemmän kertoimia, valitaan IIR-suodin. Tässä suodinluokassa on ulostulon takaisinkytkentää, joka voi periaatteessa aiheuttaa epästabiilisuuden. Kuitenkin on olemassa rutiininomaisia lähestymistapoja, joilla epästabiilisuus eliminoidaan.

Z-muunnoksen sovelluskohteet liittyvät mm. digitaaliseen signaalinkäsittelyyn, suodatukseen, spektrianalyysiin, TV-tekniikkaan, audiotekniikkaan, korkeatasoiseen musiikkiin ja tietoliikenteeseen.

Haettu osoitteesta http://fi.wikipedia.org../../../z/-/m/Z-muunnos.html

Luokka: Matematiikka

Z-muunnos

Wikipedia

Views

Valikko

Haku

Muilla kielillä