Transformata Z

Z Wikipedii

Masz nowe wiadomości (różnica z poprzednią wersją).

Transformata Z (transformata Laurent'a) jest odpowiednikiem transformaty Laplace'a stosowanym do opisu i analizy układów dyskretnych.

Transformatą Z dyskretnej (impulsowej) funkcji czasu f*(t) jest nazywane przekształcenie postaci:

Z[f*(t)] = Z[f(kT)] = F(z)

i określane jest wzorem:

$F(z) = \sum_{n=0}^{\infty} f(kT) z^{-k}$

gdzie: F(x) - transformata oryginału; f(kT) - oryginał dyskretny; k=1, 2, ... .

Transformaty Z istnieją dla funkcji dyskretnych, które nie rosną szybciej niż funkcja wykładnicza, np. dla funkcji f(k) = k! lub $f(k) = e^{ak^2} (a \not = 0)$ nie istnieją transformaty Z, ponieważ nie spełniają one powyższego warunku.

[edytuj] Własności

Liniowość:

Z[af₁(kT) + bf₂(kT)] = aF₁(z) + bF₂(z)

Przesunięcie w dziedzinie czasu:

$Z[f(kT+mT) \cdot 1(kT)] = z^m \left[ F(z) - \sum_{n=0}^{m-1} f(nT) z^{-n} \right]$

gdzie m - dowolna dodatnia liczba całkowita; 1(kT) - funkcja skokowa.

Transformata sumy:

$Z\left[\ \sum_{n=0}^{m-1}\ \right] = \frac{z}{z-1} F(z)$

Transformata różnicy

Z{f[(k+1)T] - f(kT)} = (z-1) F(z) - zf(0)

Twierdzenie o wartości początkowej:

$\lim_{k=0} f(kT) = \lim_{k=\infty} F(z)$

Twierdzenie o wartości końcowej:

$\lim_{k=\infty} f(kT) = \lim_{k=1} \frac{z-1}{z} F(z)$

[edytuj] Tabela transformat

	$x (n)$	transformata-Z, $X (z)$	obszar zbieżności
1	$\delta(n)\,$	$1\,$	$z \in \R\,$
2	$u(n)\,$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\|z\| > 1\,$
3	$a^n u(n)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| > \|a\|\,$
4	$n a^n u(n)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| > \|a\|\,$
5	$-a^n u(-n-1)\,$	$\frac{1}{1-a z^{-1}}$	$\|z\| < \|a\|\,$
6	$-n a^n u(-n-1)\,$	$\frac{az^{-1} }{ (1-a z^{-1})^2 }$	$\|z\| < \|a\|\,$
7	$\cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-z^{-1} \cos(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
8	$\sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ z^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+ z^{-2} }$	$\|z\| >1\,$
9	$a^n \cos(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ 1-a z^{-1} \cos( \omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$
10	$a^n \sin(\omega_0 n) u(n) \,$	$\frac{ az^{-1} \sin(\omega_0) }{ 1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+ a^2 z^{-2} }$	$\|z\| > \|a\|\,$