Équation

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche à compléter concernant les mathématiques, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

En mathématiques, une équation est une égalité qui lie différentes quantités, généralement pour poser le problème de leur identité. Résoudre l'équation consiste à déterminer toutes les façons de donner à certaines des quantités qui y apparaissent, les inconnues, des valeurs qui rendent l'énoncé vrai. Ces valeurs possibles sont appelées solutions de l'équation. Une équation est souvent utilisée pour faire référence à l'ensemble de ses solutions, et en géométrie notamment, on appelle équation d'un objet mathématique sa définition comme ensemble des solutions d'une équation. Dans un sens plus large, le terme équation est synonyme d'égalité, avec fréquemment le sous-entendu que l'égalité n'est pas toujours vraie.

Une équation se présente le plus souvent comme une formule du type $A = B$ . (Cependant, n'importe quel problème mathématique peut être vu comme une équation, sans toujours être exprimé explicitement sous cette forme.) Les deux membres $A$ et $B$ séparés par le signe $=$ dépendent de variables (inconnues ou paramètres) dont les valeurs ne sont pas spécifiées. On y ajoute, parfois implicitement, la donnée des ensembles où l'on cherche des valeurs pour les inconnues. Par exemple, l'équation

$x^2+2x+1=0, \quad x \in \mathbb R$

d'inconnue x admet pour unique solution le réel $- 1$ .

On réserve des noms particuliers à certains types d'équations. Ainsi, lorsqu'elle est écrite comme la « combinaison » de plusieurs équations plus simples qui doivent être vérifiées simultanément, on parle de système d'équations ou simplement de système.

Certaines informations nécessaires à la compréhension et la résolution d'une équation sont parfois sous-entendues. En particulier, une convention usuelle de notation veut que les lettres du début de l'alphabet (a, b, A, B...) représentent des paramètres, alors que celles de la fin de l'alphabet (principalement x, y, z, X) désignent des inconnues. Ainsi « Résoudre l'équation $a x 2 + b x + c = 0$ , d'inconnue $x\in \mathbb R$ , pour toute valeur des paramètres $a, b, c \in \mathbb R$ » pourra s'abréger sans trop d'ambigüité en « Résoudre dans $\mathbb R$ : $a x 2 + b x + c = 0$ ».

Certaines catégories d'équations font l'objet de théories générales. On parvient ainsi à résoudre certaines classes d'équations en exprimant leurs solutions sous une forme plus explicite que l'équation elle-même. Dans les cas moins favorables, on se contente d'étudier les conditions d'existence des solutions et leurs propriétés.