Équation d'Euler-Lagrange
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[modifier] Introduction
Cette équation joue un rôle fondamental dans le calcul des variations. On retrouve cette équation dans de nombreux problèmes, tel que le problème brachistochrone ou bien encore les problèmes géodésiques.
[modifier] Enoncé
Soit J la fonctionnelle définie par:
Avec 
. Une condition nécessaire pour que J soit stationnaire est que l'on ait:
.
[modifier] Variantes
Dans de nombreux problèmes, f ne dépend pas directement de t, (c'est-à-dire 
) et l'équation précédente se simplifie sous la forme suivante, appelée Identité de Beltrami:
Avec C une constante du problème
[modifier] Démonstration de l'égalité d'Euler-Lagrange
Il s'agit d'une très célèbre démonstration en mathématiques. Elle repose sur le lemme fondamental du calcul des variations.
Nous cherchons une fonction x satisfaisant les conditions aux bords f(a) = c,f(b) = d, et rendant extrémale la fonctionnelle:
Supposons que les dérivées premières de f soient continues.
Si x rend extrémale J, alors une pertubation infinitésimale de x f préservera les conditions aux bords et augmentera J (si x est un minimum) ou diminuera J (si x est un maximum).
Soit xε(t) = x(t) + εη(t) une perturbation de x, où η(t) est une fonction différentiable vérifiant η(t0) = η(t1) = 0. Définissons :
Calculons alors la dérivée de J par rapport à ε:
Le développement du calcul donne:
Donc :
Quand ε = 0 on a bien xε = x, ce qui donne J'(0) = 0, soit encore :
![0 = \int_{t_0}^{t_1} { \eta(t) \frac{\partial f}{\partial x} dt} + \left[ \eta(t) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right]_{t_0}^{t_1} - \int_{t_0}^{t_1} { \eta(t) \frac{d}{dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x'} dt} = \int_{t_0}^{t_1} {\left( \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{d}{dt} \frac{\partial f}{\partial \dot x'} \right) \eta(t)dt} + \left[ \eta(t) \frac{\partial f}{\partial \dot x} \right]_{t_0}^{t_1}](../../../math/4/0/b/40b4a6c85d245e5b2711060256d7e598.png)
Avec les conditions aux bords η(t0) = η(t1) = 0, on a:
En appliquant le lemme fondamental du calcul des variations avec η(t0) = η(t1) = 0, on obtient:
