Calcul des variations

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En analyse, le calcul des variations (ou calcul variationnel) est un ensemble de méthodes permettant de déterminer les points critiques ou les extrémales de fonctionnelles.

L'application des théories de Galois, d'Abel et de la transformée de Laplace permit d'en faire toute une branche fructueuse des mathématiques.

Sommaire

1 Variations première et seconde
2 Équation de Jacobi
3 Points conjugués et condition de Legendre
4 Condition de Weierstrass
5 Notes
6 Voir aussi

[modifier] Variations première et seconde

[modifier] Équation de Jacobi

[modifier] Points conjugués et condition de Legendre

[modifier] Condition de Weierstrass

Karl Weierstrass (1815–1897)

Revenons-en à l'expression de l'intégrale

W = ∫_{x_o→x₁} f(x,y,y') dx

et considérons un champ F d'extrémales se composant d'une famille de ces courbes à un paramètre α. Chacune d'elles satisfait naturellement à l'équation d'Euler-Lagrange

d(∂f/∂y')/dx – ∂f/∂y = 0.

En adoptant la représentation paramétrique : x_o, x₁ et α, fonctions de t, x_o et x₁ décrivent des courbes C et D lorsque t varie, et la variation de W d'une extrémale à l'autre est^[1]

δW = { [ f + (∂f/∂y') (Y' – y')] δx }_o→1,

où y' est le coefficient angulaire de la tangente à l'extrémale et Y' celui de la tangente à la courbe C ou D.

[modifier] Notes

↑ En tenant compte de la formule δW = [L₁δt₁]_Q'₁P₁ – [L_oδt_o]_{Q'_oP_o} + ∫_{(Q'_o, t_o)→(Q'₁, t₁)} L dt – ∫_{(Q_o, t_o)→(Q₁, t₁)} L dt établie plus haut.