Équations de Navier-Stokes - moyenne de Reynolds

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Dans le cadre du traitement en mécanique des fluides de la turbulence, l'utilisation de la décomposition de Reynolds appliquée aux solutions de l'équation de Navier-Stokes permet de simplifier le problème en faisant disparaitre les fluctuations de périodes et d'amplitudes courtes.

Sommaire

1 L'équation de Navier-Stokes
2 décomposition de Reynolds
3 moyenne de Reynolds et équation de Reynolds
4 tenseur de Reynolds
5 references

[modifier] L'équation de Navier-Stokes

On rappelle la forme de l'équation de Navier Stokes dans le cas des fluides incompressibles:

$\rho \partial_tu_i+\sum_j \rho u_j\partial_ju_i =-\rho g_i+ \sum_j \partial_j\sigma_{i,j}$

avec les notations

$\partial_t=({\partial \over {\partial t}})$

$\partial_i=({\partial \over {\partial x_i}})$

ou encore sous une forme plus compacte:

$\rho \partial_t\bold{u}+ \rho (\bold{u}.\bold{\nabla})\bold{u} =-\rho \bold{g}+ \nabla_j . (\overline{\overline{\sigma}})_{i,j}$

où $u i (t, x j)$ représente la ième composante du champ de vitesses instantannées à l'instant t aux coordonnées $(x 1, x 2, x 3)$ dans le fluide, $\partial_t u$ et $\partial_i u$ représentent respectivement les dérivations partielles par rapport au temps et par rapport à la ième coordonnée spatiale, $ρ$ représente la densité du fluide,ici constante d'après l'hypothèse d'incompressibilité et $\overline{\overline\sigma}$ le tenseur défini par ses composantes:

$\sigma_{i,j}=-p\delta_{i,j}+\mu(({\partial u_i \over \partial r_j})+({\partial u_j \over \partial r_i}))$

[modifier] décomposition de Reynolds

L'utilisation de la décomposition de Reynolds se justifie lorsqu'on a affaire à un phénomène présentant un spectre séparé en deux parties nettement disitinctes: une bande de basses fréquences ou de régime quasi-permanent de contribution moyenne sinon constante, du moins variant peu au cours du temps, nettement séparée d'une bande de régime transitoires de haute fréquence et de contribution moyenne nulle. Ainsi:

$\bold{u}(t,\bold{r})= \overline \bold{u}(t,\bold{r})+\bold{u'}(t,\bold{r})$

[modifier] moyenne de Reynolds et équation de Reynolds

à rédiger
En utilisant l'équation de continuité (conservation de la matière) puis en moyennant (ce qui a pour effet de faire disparaitre les termes de fluctuation rapides, qui sont de moyenne nulle), l'équation de Navier-Stokes devient l'équation de Reynolds:

$\rho({\partial{\overline u_i}\over\partial t}+\sum_j \overline u_j ({\partial \overline u_i\over \partial x_j}))= \rho \overline g_i+\sum_j({\partial\over\partial x_j})({\sigma_{i,j}-\rho\overline{u'_i u'_j}})$

ce qui peut encore s'écrire:

$\rho({\partial_t}+ ( \bold {\overline u}.\nabla)) ({\bold {\overline u}})= \rho \overline \bold{g}+ \nabla_j .(\bold {\overline{\overline \sigma}}-\rho\overline{\bold{u'\otimes u'}})_{i,j}$

Il reste donc un terme fonction des fluctuations rapides, mais seulement par le truchement de leur variance, c'est à dire de la moyenne de leur carré. Dans le cadre de l'approximation hydrodynamique, ce terme est constant et est représenté par le tenseur: $(\rho\overline{\bold{u'\otimes u'}})_{i,j}$ qui est appelé tenseur de Reynolds.