142857 (nombre)
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Le nombre 142857 possède de nombreuses propriétés mathématiques remarquables en base 10. La plupart de celles-ci découlent du fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7.
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[modifier] Permutations circulaires
Les multiples successifs de 142 857 en forment les permutations circulaires :
- 1 x 142 857 = 142 857
- 2 x 142 857 = 285 714
- 3 x 142 857 = 428 571
- 4 x 142 857 = 571 428
- 5 x 142 857 = 714 285
- 6 x 142 857 = 857 142
Cette propriété est vérifiée par un nombre donné si et seulement si,
- ce nombre est la période du développement décimal d'une fraction du type 1 / n ;
- cette période est de longueur n - 1.
Si la période est comprise entre 2 et n-2, seuls certains multiples du nombre seront une de ses permutations circulaires.
Les nombres de moins de cinquante chiffres possédant une telle propriété sont ainsi :
- 0 588 235 294 117 647 (16 chiffres, de 1/17) ;
- 052 631 578 947 368 421 (18 chiffres, de 1/19) ;
- 0 434 782 608 695 652 173 913 (22 chiffres, de 1/23) ;
- 0 344 827 586 206 896 551 724 137 931 (28 chiffres, de 1/29) ;
- 0 212 765 957 446 808 510 638 297 872 340 425 531 914 893 617 (46 chiffres, de 1/47).
On notera aussi les permutations circulaires suivantes :
- 142 857 / 2 = 71 428,5
- 142 857 / 5 = 28 571,4
[modifier] Lien avec 9, 99, 999 et 999 999
De nombreuses identités remarquables lient 142 857 aux nombres de la forme 10n − 1 :
- 7 x 142 857 = 999 999
- 142 + 857 = 999
- 14 + 28 + 57 = 99
- 1 + 4 + 2 + 8 + 5 + 7 = 9 x 3
Elles sont liées au fait que 142857 est la période du développement décimal de la fraction 1/7 et se généralisent aux autres périodes de fractions du type 1 / n par exemple :
- 333 (de 1/3)
- 09 (de 1/11)
- 076 923 (de 1/13)
On peut aussi remarquer que 2 est un élément d'ordre 6 modulo 9:
et l'on voit réapparaître les chiffres 1, 4, 2, 8, 5 et 7.
À partir de 7 x 142 857 = 999 999, on peut déduire
- 142 857 x 7 x n = (n x 1000000) - n,
ce qui permet de calculer mentalement rapidement n'importe quel multiple de 142857.
[modifier] Nombre de Kaprekar
142 857 est un nombre de Kaprekar :
- 1428572 = 020408 122449
- 142857 = 020408 + 122449
De même en le multipliant par n'importe quel nombre, en additionnant les morceaux du résultat par groupes de 6 en partant de la fin et ainsi de suite avec le nouveau résultat on obtient le nombre 142857 avec un éventuel décalage (donc 142857 * 1, 2, ... ou 6) ou 999999 (= 142857 * 7), exemple :
- 142857 * 56 = 7999992
- => 7 + 999992 = 999999 = 142857 * 7
- 142857 * 125 = 17857125
- => 17 + 857125 = 857142 = 142857 * 6
- 142857 * 7841131285974854689745213 = 1120160492120509816412931893541
- => 1 + 120160 + 492120 + 509816 + 412931 + 893541 = 2428569
- => 2 + 428569 = 428571 = 142857 * 3
On notera également
- 1428574 = 000416 491461 893377 757601
- 142857 x 15 = 000416 + 491461 + 893377 + 757601
et
- 1428578 = 173465 137830 082936 774412 507898 191113 275201
- 142857 x 15 = 173465 + 137830 + 082936 + 774412 + 507898 + 191113 + 275201
Cette décomposition d'un multiple comme somme de sous-nombres d'une puissance est partagée par les périodes d'un développement décimal de fraction, par exemple :
- 333 (de 1/3)
- 09 (de 1/11)
- 047619 (de 1/19)
[modifier] Nombre Harshad
142 857 est un nombre Harshad :
- 142857 = 5291 x (1+4+2+8+5+7)
[modifier] Autres propriétés
Décomposition en produit de facteurs premiers :
- 142 857 = 33 x 11 x 13 x 37
1/7 = 0.142857 142857 142857 ...
Ancienne approximation de pi : 22/7 = 3.142857
326451 peut être considéré comme le jumeaux de 142857...
- 142857 x 3 = 428571
- 142857 x 2 = 285714
- 142857 x 6 = 857142
- 142857 x 4 = 571428
- 142857 x 5 = 714285
- 142857 x 1 = 142857
- 10 = 3 + (7 x 1)
- 100 = 2 + (7 x 14)
- 1000 = 6 + (7 x 142)
- 10000 = 4 + (7 x 1428)
- 100000 = 5 + (7 x 14285)
- 1000000 = 1 + (7 x 142857)
On peut visualiser certaines propriétés de 142857 avec la roue de six évoquée par Dom Néroman dans son livre la leçon de Platon.
On y remarque que la somme des nombres opposés est égale à 9 dans la roue extérieure, et à 7 à l'intérieur.
