Algèbre enveloppante

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En mathématiques, on peut construire l'algèbre enveloppante U(L) d'une algèbre de Lie L. Il s'agit une algèbre associative unitaire qui permet de rendre compte de la plupart des propriétés de L.

Si A est une algèbre associative sur un corps K, on peut facilement la munir d'une structure d'algèbre de Lie, en posant [x,y]=xy-yx. On note l'algèbre de Lie ainsi obtenue A_L.

La construction d'une algèbre enveloppante répond au problème réciproque : à partir d'une algèbre de Lie, on construit une algèbre associative dont le commutateur correspond au crochet dont on était parti.

[modifier] Construction

Soit L une algèbre de Lie sur un corps K. Soit T(L) l'algèbre tensorielle de L. On construit U(L) à partir de T(L) en imposant les relations $x\otimes y-y\otimes x=[x,y]$ .

Plus formellement, on note I l'idéal bilatère engendré par les $x\otimes y-y\otimes x-[x,y]$ . U(L) est alors le quotient de T(L) par l'idéal I. L'injection canonique de L dans T(L) fournit alors un morphisme $\iota:L\to U(L)$ .

[modifier] Propriété universelle

On peut caractériser l'algèbre enveloppante de L par la propriété universelle suivante : U(L) est l'unique algèbre assocative telle que pour toute K-algèbre associative A et tout morphisme d'algèbre de Lie $\phi : L\to A_L$ , il existe un unique morphisme d'algèbre associative $\Phi:U(L)\to A$ tel que $\phi=\Phi\circ \iota$ .

[modifier] Autres propriétés

L'intérêt premier de la construction de l'algèbre enveloppante est que toute représentation d'une algèbre de Lie L peut être vue comme un module sur U(L). Formellement, il y a une équivalence de catégories entre les représentations de L et les U(L)-modules.

Le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt permet de mieux comprendre la structure de l'algèbre enveloppante. Un corollaire important de ce théorème est que l'application $ι$ définie ci-dessus est injective.

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