Module sur un anneau

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Un module sur un anneau unitaire est une structure algébrique qui généralise celle d'espace vectoriel. Elle possède cependant des propriétés moins riches, par exemple l'existence d'une base n'est pas assurée, et même dans les modules générés par un nombre fini d'éléments, on ne peut développer de théorie de la dimension.

Dans un espace vectoriel l'ensemble des scalaires forment un corps tandis que dans un module, ils sont de manière plus générale munis d'une structure d'anneau (non nécessairement commutatif). Une grande partie des travaux en théorie des modules consiste à retrouver les résultats spectaculaires de la théorie des espaces vectoriels, quitte pour cela à travailler avec des anneaux plus maniables, comme les anneaux principaux.

[modifier] Définitions

[modifier] Module à gauche, module à droite

Si A est un anneau, et (M , +) un groupe commutatif.

Si de plus, M est muni d'une loi externe $\cdot$ de A × M dans M vérifiant, pour tous éléments a et b de A et x, y de M:

$a \cdot(x + y) = a\cdot x + a\cdot y$ (distributivité de $\cdot$ par rapport à l'addition dans M)
$(a + b) \cdot x = a \cdot x + b \cdot x$ (distributivité de $\cdot$ par rapport à l'addition dans A)

Remarque : la loi + du membre de gauche est celle de l'anneau A et la loi + du membre de droite est celle du groupe M

$(ab) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)$
$1 \cdot x = x$

alors (M, + , $\cdot$ ) est un A-module à gauche.

Ce qui a été défini ici est un A-module à gauche, car, dans la loi externe, les éléments de A sont placés à gauche. On pourra définir de même un A-module à droite.

Il est important de remarquer que les structures de module à gauche et à droite ne diffèrent pas uniquement par leur écriture : si les deux premiers axiomes sont les mêmes, le troisième s'écrit $x\cdot(ba)=(x\cdot b)\cdot a$ . Si l'on transcrivait naïvement cette égalité en écrivant les éléments de A gauche, on obtiendrait $(ba) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)$ , ce qui, si A n'est pas commutatif, ne revient pas au même que l'axiome qui donne la structure de module à gauche.

Par contre, le petit raisonnement ci-dessus montre que, si l'on "inverse" la loi de A, un module à droite peut être vu comme un module à gauche. Plus précisément, notons $A o p$ l'anneau "opposé" à A, c'est-à-dire le groupe abélien A muni de la multiplication définie par $a o p b o p = b a$ , si $a o p$ et $b o p$ désignent a et b vus comme éléments de $A o p$ . Alors, si M est un A-module à gauche, M peut être vu comme un $A o p$ -module à droite, où l'action de $A o p$ est définie par $a . m = m . a o p$ .

Ceci justifie que dans la suite, on puisse se restreindre à l'étude des modules à gauche.

Exemples

Lorsque A est un corps, on retrouve la structure habituelle de A-espace vectoriel. Dans ce cas, les éléments de A sont appelés les scalaires, les éléments de M sont appelés les vecteurs.
A lui-même est à la fois un module à gauche et à droite.
L'ensemble des vecteurs du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs forme un $\mathbb{Z}$ -module.
Tout groupe abélien est automatiquement un $\mathbb{Z}$ -module pour la loi externe définie par :

pour n > 0, $n \cdot x = x + \cdots + x$ avec n termes x

pour n = 0 $0 \cdot x = 0$

pour n < 0, $n\cdot x = -(x + \cdots + x)$ avec |n| termes x

Cette loi est la seule qui munisse un groupe abélien d'une structure de $\mathbb{Z}$ -module. Il y a donc équivalence entre la notion de $\mathbb{Z}$ -module et celle de groupe abélien.

La structure de A-module apparaît dans celle d'algèbre sur un anneau.
Si M un groupe abélien et si f est un endomorphisme de groupe sur M, alors on peut définir la loi externe $f \cdot x = f(x)$ qui confère à M une structure de End(M)-module .
Si M est un espace vectoriel, on peut faire la même chose avec des endomorphismes d'espaces vectoriels au lieu de groupes. Par exemple, l'espace vectoriel $\mathbb{R}^n$ à n dimensions est un module à gauche sur $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ via la multiplication matricielle.
Si M est un A-module à gauche, l'ensemble des applications d'un ensemble S vers M est un A-module à gauche, pour les lois $(f + g)(x) = f (x) + g (x)$ et $(r\cdot f )(x)=r\cdot(f(x))$

[modifier] Lien avec la théorie de la représentation

Le premier axiome montre que, pour $a \in A$ , l'application $\psi_a : x \mapsto a \cdot x$ est un endomorphisme du groupe $M$ . Les trois axiomes suivants traduisent quant à eux le fait que l'application $a \mapsto \psi_a$ est un morphisme (unitaire) de l'anneau A dans l'anneau des endomorphismes de M, noté End(M).

Réciproquement, la donnée d'un morphisme d'anneau unitaire $\psi : A \to End(M)$ fournit à M une structure de A-module (à gauche) via la loi $a \cdot x = \psi(a)(x)$ . Une structure de A-module est donc équivalente à la donné d'un morphisme $A \to End(M)$ .

Un tel morphisme A $\to$ End(M) est appelé une représentation de A sur le groupe abélien M. Une représentation est dite fidèle si elle est injective. En termes de module, cela signifie que si pour tout $x \in M, a \cdot x = 0$ , alors a = 0.

Ceci est une généralisation de ce que l'on trouve en représentation des groupes, où l'on définit une représentation d'un groupe G vers un espace vectoriel sur un corps K comme un morphisme de l'algèbre du groupe K[G] vers End(V), autrement dit, où l'on donne une structure de K[G]-module à V.

[modifier] Sous-module

Soit E un A-module à gauche, et M une partie de E. On dit que M est un sous-module (à gauche) si les conditions suivantes sont respectées :

M est un sous-groupe de (E,+)
Pour tout $a \in A, x \in M, a \cdot x \in M$

Autrement dit, un sous-module est une partie linéairement stable.

Exemples

Un cas très important est celui des sous-modules de A en tant A-module : ils ne sont autres que les idéaux à gauche ou à droite selon le type de module choisi, de l'anneau A.
Si le module est un espace vectoriel, on parle de sous-espace vectoriel
Dans un groupe commutatif, considéré comme module sur $\mathbb{Z}$ , tout sous-groupe est aussi un sous-module.

[modifier] Applications linéaires

Une application linéaire f entre deux modules M et N sur un même anneau A est une fonction qui conserve la structure de module, i.e qui vérifie :

$\forall (\alpha,\beta) \in A^2, \forall (x,y) \in M^2, f(\alpha \cdot x + \beta \cdot y) = \alpha \cdot f(x) + \beta \cdot f(y)$

Autrement dit, une application linéaire est un morphisme de modules. Si f est bijective, on dit de plus que f est un isomorphisme. Si les modules de départ et d'arrivée M et N sont identiques, on dit que f est un endomorphisme. Si f est à la fois un endomorphisme et un isomorphisme, on dit que c'est un automorphisme.

Le noyau d'une application linéaire f est l'ensemble des éléments x de M qui vérifient f(x) = 0. C'est un sous-module de M et il est noté Ker f. On peut également définir l'image d'une application linéaire Im f = f(M) qui est un sous-module de N.

Comme dans le cas des groupes ou des anneaux, un morphisme de A-modules $f : M\to N$ donne lieu à un isomorphisme $\tilde f : M/ \ker f \to \mathrm {im} f$ , défini par $\tilde f (x+\ker f) = f(x)$

[modifier] Opérations sur les modules

[modifier] Produits de modules

Si on considère une famille de module ( $M_i)_{i \in I}$ sur un même anneau A, on peut munir l'ensemble produit $\prod_{i \in I} M_i$ d'une structure de module en définissant les lois suivantes :

Loi interne : $(x_i)_{i \in I} + (y_i)_{i \in I} = (x_i + y_i)_{i \in I}$
Loi externe : $a \cdot (x_i)_{i \in I} = (a \cdot x_i)_{i \in I}$

Le module ainsi défini s'appelle le module produit. Les projections $p_i : (x_j)_{j \in I} \mapsto x_i$ sont alors des applications linéaires surjectives. Un exemple important de produit de modules est celui où tous les modules facteurs sont identiques à un même module M ; leur produit $M I$ n'est alors autre que l'ensemble des applications de I dans M.

[modifier] Somme directe de modules

Soit $(M_i)_{i \in I}$ une famille de A-modules, on note leur produit $M = \prod_{i \in I} M_i$ . L'ensemble E des éléments de M dont toutes les composantes sauf un nombre fini sont nulles est appelé somme directe externe de la famille de modules $(M_i)_{i \in I}$ et il est noté :

$E = \bigoplus_{i \in I} M_i$

C'est un sous-module de $\prod_{i \in I} M_i$ . Dans le cas où I est fini, la somme directe E et le produit M sont évidemment confondus.

[modifier] Intersection et somme de sous-modules

Si M est un module, et $(M_i)_{i \in I}$ est une collection de sous-modules de M, on dit que la famille est en somme directe si :

Pour toute partie J finie de I, pour tout $(x_j)_{j \in J}, \sum_{j \in J} x_j = 0 \Rightarrow \forall j \in J, x_j = 0$

Dans ce cas, la somme $\sum_{i \in I} M_i$ , appelée somme directe interne, est isomorphe à la somme directe externe et elle est également notée $\bigoplus_{i \in I} M_i$ .