Battement

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Le battement de deux ondes est le résultat du mélange de deux ondes de fréquences différentes mais proches. Il est observé en acoustique, en mécanique, en optique...

Sommaire

1 Acoustique musicale
2 Physique
- 2.1 À un endroit donné
- 2.2 À un instant donné
3 Voir aussi

[modifier] Acoustique musicale

En acoustique musicale, le battement est une perception sonore due au mélange de deux sons, de fréquences fondamentales voisines, ou contenant des fréquences harmoniques voisines. C'est l'équivalent sonore des franges de moiré que l'on peut observer en optique.

Lorsque deux sons sont de fréquences ƒ₁ et ƒ₂ très proches — donc de hauteurs voisines —, l'oreille perçoit une sorte de pulsation lente dont la fréquence est la différence ƒ₁ - ƒ₂ en valeur absolue. Exemple: un la à 440 Hz joué en même temps qu'un la à 443 Hz produiront conjointement une pulsation de 1,5 battements par seconde. Voici deux exemples:

Un battement est également perçu entre des sons de fréquence ƒ₂ et ƒ₃ si cette dernière est une fréquence harmonique simple de ƒ₁. Par exemple, si ƒ₃ est la quinte de ƒ₁, alors :

$f_3 = f_1 \times \frac{3}{2}$

Les battements se produisent en fait en grand nombre entre toutes les fréquences en présence, mais la plupart ne sont pas audibles, soit parce que ces battements ou sons résultants correspondent à des fréquences existantes, qui sont alors renforcées, soit encore en raison de la trop faible intensité ou trop faible vitesse (un battement toutes les 5 secondes ou plus lent) ou trop rapide : au-delà de 20 battements par secondes, les battements ne sont plus discernables, et on entre dans le champ des fréquences audibles : 20 Hz (extrême grave) étant considéré comme le seuil auditif d'une oreille ordinaire. Le phénomène reste le même, mais on parle alors, à cause du changement de perception, de son résultant.

Le phénomène de battement s'entend très bien lorsqu'une personne accorde un instrument à corde (par exemple une guitare) : on entend une vibration du son, due au mélange des sons émis par les deux cordes pincées ensemble. C'est ce phénomène qui permet d'effectuer, simplement à l'oreille, l'accord des instruments de musique : un intervalle est pur lorsqu'on n'entend plus aucun battement.

Mais inversement, l'existence d'un battement reconnu permet également d'effectuer l'accord ou l'intonation. Par exemple, la tierce majeure n'est jamais utilisée pure (sauf en musique ancienne), la qualité de son battement permet aux instrumentistes de s'assurer qu'ils jouent juste.

Des méthodes d'accordage emploient aussi comme outil infaillible, mais pas toujours pratique, le comptage des battements : leur vitesse indique avec une grande précision l'état des l'intervalles tempérés indispensables à l'accord d'un instrument à sons fixes.

Note: Des intervalles moins consonnants, bien que « justes », tels que les seconde ou sixte mineures, peuvent également générer des battements qui sont constitutifs de leur nature. C'est là la raison de leur faible consonance. Même des intervalles assez consonants en contiennent : voir le cas intéressant de la tierce.

[modifier] Physique

Les ondes sont représentées par des fonctions trigonométriques : on peut démontrer qu'une fonction périodique A peut se décomposer en une somme de fonctions trigonométriques (séries de Fourier). La somme de deux ondes étant linéaire, on peut donc dans un premier temps réduire l'étude à celles des fonctions de type

$A(x,t)= A_0\cos(\omega\cdot t + k\cdot x + \alpha)$

où $ω$ est la pulsation (en rad·s^-1), $k$ est le nombre d'onde (en rad·m^-1) et $α$ est la phase à l'origine (en rad).

Par rapport à la fréquence $f$ , on a :

$\omega = 2\pi \times f$

[modifier] À un endroit donné

Battements interférentiels de deux ondes de fréquence proches (10 % de différence)

Pour simplifier, on se place en un endroit $x 0$ fixe tel que

$k\cdot x_0 + \alpha = 0$

on a alors

$A(x_0,t) = A_0\cos(\omega\cdot t)$

Une manière simple d'approcher les interférences consiste à appliquer la formule

$\cos(a) + \cos(b) = 2 \cos\left( \frac{a + b}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{a - b}{2}\right)$

alors, pour deux ondes de même amplitude mais de pulsations différentes, on a

$A_1(x_0 ,t) + A_2(x_0 ,t) = 2 A_0 \cos\left( \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} \cdot t\right) \cdot \cos\left( \frac{\omega_1 - \omega_2}{2} \cdot t \right)$

On a donc une onde de base de pulsation rapide $(ω 1 + ω 2) / 2$ qui est la simple valeur moyenne des deux ondes combinées à laquelle se superpose une onde de pulsation lente $(ω 1 - ω 2) / 2$ qui fait varier son amplitude.

[modifier] À un instant donné

Battements d'interférence selon l'endroit à un instant donné, pour une différence de nombre d'onde de 10 %

On peut faire la même analyse en considérant un instant t ₀ donné tel que

ω·t ₀ + α = 0

On a alors

A ₁(x, t ₀) + A ₂(x, t ₀) = 2·A ₀.cos(x·(k ₁ + k ₂)/2)·cos(x·(k ₁ - k ₂)/2)

on obtient une figure spatiale d'interférence, ayant également une variation de petite longueur d'onde (k ₁ + k ₂)/2 et une variation de grande longueur d'onde (k ₁ - k ₂)/2 (la longueur d'onde est l'inverse du nombre d'onde).

Si l'on considère maintenant des ondes de même amplitude A, de même pulsation ω (donc de même nombre d'onde k) mais de phase α différente, on a

A ₁(x, t) + A ₂(x, t) = 2A ₀·cos(ω·t + k·x + (α₁ + α₂)/2)·cos((α₁ - α₂)/2)

L'onde résultante a donc la même pulsation, mais sa phase à l'origine et son amplitude dépendent des phases des ondes interférentes.

On voit que si α₁ = α₂ [2π] (les ondes sont dites « en phase »), le facteur cos((α₁ - α₂)/2) vaut cos(0) = 1, on a donc une onde d'amplitude double ; on parle d'interférences constructives.

Si par contre α₁ = α₂ + π [2π] (les ondes sont dites « en opposition phase »), le facteur cos((α₁ - α₂)/2) vaut cos(π/2) = 0, les ondes s'annulent ; on parle d'interférences destructives.

Entre ces situations, l'amplitude passe de 2·A ₀ à 0 en fonction du facteur cos((α₁ - α₂)/2). Les endroits où l'on a une extinction du son pour deux haut-parleurs branchés en opposition de phase correspondent aux lieux pour lesquels les ondes sont toujours en opposition de phase.