Classe (mathématiques)

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En mathématiques on utilise le mot classe de façon alternative au mot ensemble. Souvent c'est pour suivre un usage particulier, comme quand on parle de classe d'équivalence. Parfois c'est pour la clarté d'expression : dans certains contextes, on choisira de parler de classe d'ensembles plutôt que d'ensemble d'ensembles.

En théorie des ensembles, le mot classe a un usage particulier. Après la découverte des paradoxes de la théorie des ensembles au début du XX^e siècle, on en est venu à donner à ce terme un sens plus précis. On distingue les notions d'ensemble et de classe ; un ensemble est une classe, mais une classe n'est pas forcément un ensemble. Ainsi la propriété "ne pas appartenir à soi-même" (x ∉ x) ne définit pas un ensemble, sous peine de paradoxe. C'est une classe.

Sommaire 1 Notion de classe 1.1 Les classes en théorie des ensembles 1.2 Exemples de classes propres 1.3 Théories des classes 2 La théorie NBG 2.1 Axiomes de la théorie NBG 3 Sources

[modifier] Notion de classe

[modifier] Les classes en théorie des ensembles

Pour fixer le vocabulaire, on va parler dans la suite de collection pour désigner un ensemble au sens intuitif, y compris dans un modèle de la théorie des ensembles (c'est une terminologie souvent utilisée, mais pas universelle). On sait depuis la découverte par Russell de son fameux paradoxe que certaines collections d'objets, dont on peut parler dans le langage de la théorie, comme la collection des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux mêmes, ne peuvent être des ensembles, sous peine de voir la théorie devenir contradictoire. Pour y remédier Zermelo choisit de ne conserver que des cas particuliers de l'axiome de compréhension généralisé, qui dit que toute propriété (par exemple "ne pas s'appartenir à soi même") définit un ensemble. En théorie axiomatique des ensembles, ces collections d'objets qui sont définies par une propriété de leurs éléments, mais qui ne sont pas forcément des ensembles au sens de la théorie, sont appelées classes. Les classes qui ne sont pas des ensembles sont appelées classes propres.

Dans une théorie des ensembles comme ZFC, les classes sont des collections qui sont identifiées par une propriété de leurs éléments exprimée dans le langage de cette théorie. On peut donc les identifier aux prédicats du langage. Il est tout de même parfois plus intuitif de parler de classe, avec le langage ensembliste afférent (intersection, réunion etc.), que de parler de prédicat. Ainsi on peut manipuler les classes avec les opérations correspondant aux opérations logiques usuelles sur les prédicats : opérations booléennes, disjonction donc réunion, conjonction donc intersection et produit cartésien, négation donc passage au complémentaire, quantificateurs donc en particulier projection, etc. Cependant les classes ne sont pas des objets de la théorie. Il n'est donc pas question de classes de classes, encore moins d'ensembles de classes !

[modifier] Exemples de classes propres

On se place dans une théorie des ensembles comme Z, ZF ou ZFC. Evidemment, grâce au prédicat d'appartenance, tout ensemble a "est" une classe : elle est définie par le prédicat x ∈ a. Les paradoxes classiques de la théories des ensembles fournissent des classes propres.

• Ainsi, le paradoxe de Russell se reformule (de façon cette fois non contradictoire) en disant que la classe des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux même (prédicat x ∉ x) est une classe propre.

• On peut définir le prédicat "être un ordinal" en théorie des ensembles : en prenant la définition de Von Neumann, un ordinal est un ensemble transitif, c'est à dire que tous ses éléments sont des sous-ensembles, sur lequel l'appartenance définit un bon ordre strict. Le paradoxe de Burali-Forti se reformule en disant que la classe de tous les ordinaux est une classe propre.

On en déduit que d'autres classes sont des classes propres.

• La propriété "être un ensemble" s'écrit x=x (ou n'importe quelle propriété de x toujours vraie). On peut donc parler de la classe de tous les ensembles. Du schéma d'axiomes de compréhension on déduit que la classe de tous les ensembles n'est pas un ensemble (sinon la classe des ensembles qui ne s'appartiennent pas à eux mêmes en serait un par compréhension). C'est une classe propre.

• La propriété "avoir un seul élément" s'écrit ∃y[y ∈ x ∧ ∀ z (z ∈ x → z = y)]. On peut donc parler de la classe des singletons. C'est une classe propre, car sinon, par axiome de la paire (dont on déduit que pour tout ensemble a, {a} est un ensemble) et par axiome de la réunion on en déduirait que la classe de tous les ensembles est un ensemble.

• En reprenant le raisonnement précédent on montre que les classes d'équipotence (classes d'équivalence pour la relation "être en bijection", c'est à dire avoir le même nombre d'éléments) sont des classes propres.

• Le dernier résultat montre que si l'on définit les cardinaux comme des classes d'équipotence, il n'est pas possible de parler d'ensembles ou même de classes de cardinaux. On préfère donc définir (dans ZFC, il faut le schéma d'axiomes de remplacement et l'axiome du choix) un cardinal comme un ensemble : un cardinal est un plus petit ordinal qui n'est pas équipotent à un ordinal strictement plus petit. Ceci s'exprime dans le langage de la théorie des ensembles, et donc on peut parler de la classe des cardinaux. Cette classe est une classe propre. On peut le montrer en reprenant l'argument du paradoxe de Cantor (tout ensemble a un cardinal par l'axiome du choix), ou en se réduisant à l'un des paradoxes ci-dessus.

[modifier] Théories des classes

En 1925, John von Neumann propose une théorie axiomatique des ensembles avec deux types d'objets fondamentaux : les ensembles et les classes, qui est dérivée de la théorie ZFC (théorie de Zermelo-Fraenkel avec axiome du choix). Cette théorie a été ensuite améliorée par Paul Bernays, puis Kurt Gödel (1941) qui en a donné une axiomatisation finie. Elle est connue sous le nom de théorie des ensembles de Von Neumann-Bernays-Gödel (en abrégé, NBG).

Alors que la théorie NBG est une extension conservative de ZFC : elle prouve les mêmes énoncés de la théorie des ensembles, la théorie des ensembles de Morse-Kelley est une théorie des classes strictement plus forte que NBG.

[modifier] La théorie NBG

La théorie NBG reprend les axiomes de la théorie ZFC, et c’est pourquoi on retrouve la notion d’ensemble, mais ces axiomes sont adaptés si nécessaire pour permettre l’existence d’autres objets que les ensembles. Les objets de la théorie NBG sont appelés classes. La notion de classe est primitive dans cette théorie et ne se définit donc pas directement.

Une autre notion primitive de la théorie est la notion d’appartenance, notée « ∈ ». De ce point de vue, il existe deux sortes de classes :

• celles qui appartiennent à une autre classe; ce sont en fait les ensembles de la théorie ZFC, qui sont donc ici définis par :

• celles qui n’appartiennent à aucune autre classe; elles sont appelées classes propres et leur définition formelle est :

Les deux notions d’ensemble et de classe propre sont complémentaires : toute classe est soit un ensemble, soit une classe propre, et aucune classe n’est les deux à la fois.

Il existe dans cette théorie une classe de tous les ensembles, notée « Ω » et définie par :

Par contre, il n’existe pas et il ne peut pas exister de classe des classes propres et encore moins de classe de toutes les classes.

[modifier] Axiomes de la théorie NBG

La théorie NBG reprend les axiomes de ZFC, dont certains modifiés pour tenir compte de l’existence des classes, auxquels elle ajoute un axiome spécifique, qui peut se décomposer en huit axiomes plus simples.

• NGB 1 : axiome d'extensionnalité

Cet axiome faisant appel à la notion d’égalité de deux ensembles, il importe de préciser d’abord comment celle-ci est définie en théorie NGB :

Deux ensembles sont égaux si et seulement s’ils appartiennent aux mêmes classes.

ou :

Nous pouvons dès lors énoncer l’axiome d'extensionnalité :

Si deux ensembles ont les mêmes éléments, alors ils sont identiques.

ou :

En d'autres termes, si on se représente les ensembles comme des sacs virtuels enveloppant leurs éléments , la nature ou la forme de ces sacs n'ont aucune importance ; seule compte la liste des éléments de chaque ensemble.

Remarquons au passage la dualité éléments / classes qui apparait entre Définition de l'égalité et Axiome d'extensionnalité.

• NGB 2 : axiome de la paire

Si a et b sont deux ensembles, alors il existe au moins un ensemble dont ils sont les uniques éléments.

ou :

L'unicité de cet ensemble pour a et b donnés découle de l'axiome d'extensionnalité.

Si a et b sont différents, il est nommé « paire de a et de b » et noté « { a , b } ».

Si a et b sont égaux, il est nommé « singleton de a » et noté « { a } ».

• NGB 3 : axiome de la réunion, dit aussi axiome de l’ensemble somme

Si E est un ensemble, alors il existe au moins un ensemble qui soit la réunion des éléments de E, c’est-à-dire contenant les éléments des éléments de E et eux seuls.

ou :

L'unicité de cet ensemble pour E donné découle de l'axiome d'extensionnalité.

Il est nommé « ensemble somme de E » et noté « ( E ) » ou « UE ».

• NGB 4 : axiome de l'ensemble des parties

Si E est un ensemble, alors il existe au moins un ensemble contenant les sous-ensembles de E et eux seuls.

ou :

L’unicité de cet ensemble pour E donné découle de l’axiome d’extensionnalité.

Il est nommé « ensemble des parties de E » et noté « ( E ) ».

• NGB 5 : axiome de séparation

Pour toute classe C et tout ensemble E, il existe un ensemble F qui regroupe les éléments de E qui appartiennent aussi à C.

ou :

L'axiome de séparation a pour conséquence l'existence d'un ensemble sans élément.

Il suffit de considérer un ensemble E quelconque et la classe des ensembles qui ne sont pas éléments de E. Alors, d'après l'axiome, il existe un ensemble dont les éléments sont et ne sont pas éléments de E, c'est-à-dire n'existent pas. En d'autres termes, il existe un ensemble sans éléments.

L'unicité de cet ensemble découle de l'axiome d'extensionnalité. Il est nommé « ensemble vide » et noté « Ø ».

• NGB 6 : axiome de l'infini

Il existe un ensemble auquel l’ensemble vide appartient, de même que les singletons de tous ses éléments.

ou :

• NGB 7 : axiome de remplacement dit aussi axiome de substitution

Soit une classe C de couples dont la seconde composante est unique pour chaque première composante; alors pour tout ensemble E, il existe un ensemble F regroupant les secondes composantes des couples de C dont la première composante vient de E.

ou :

• NGB 8 : axiome de fondation dit aussi axiome de régularité

Tout ensemble non-vide contient au moins un élément avec qui il n’a pas d’élément commun.

ou :

• NGB 9 : axiome du choix

Pour toute famille d’ensembles non-vides disjoints deux à deux, il existe un ensemble contenant un élément et un seul de chaque ensemble de la famille.

ou :

• NGB 10 : axiome de formation des classes

Toute phrase valide du système ZF détermine une classe.

Cet axiome se décompose en 8 cas particuliers:

• NGB 10a : Il existe une classe contenant tous les ensembles et eux seuls.

• NGB 10b : Il existe une classe contenant tous les couples dont les deux composantes sont des ensembles tels que le premier appartienne au second, et ces couples seulement.

• NGB 10c : Pour toute classe, il existe une classe complémentaire regroupant les ensembles n'appartenant pas à cette classe.

Remarque : la classe complémentaire de la classe des ensembles n'est pas celle des classes propres (qui n'existe pas), mais ... l'ensemble vide.

• NGB 10d : L'intersection de deux classes est toujours une classe.

C₃ est notée habituellement « C₁ ∩ C₂ ».

• NGB 10e : Pour toute classe de couples, il existe une classe regroupant leurs premières composantes.

• NGB 10f : Pour toute classe, les couples dont la première composante est élément de cette classe forment eux-mêmes une classe.

• NGB 10g : Pour toute classe de triplets, les triplets obtenus par permutation circulaire de ceux-ci forment une classe.

• NGB 10h : Pour toute classe de triplets, les triplets obtenus par transposition de ceux-ci forment une classe.

Ainsi se termine l'exposé des axiomes de NBG.

[modifier] Sources

• von Neumann, J.: An Axiomatization of Set Theory, 1925, reprinted in English translation in van Heijenoort (ed.): From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Cambridge, Massachusetts, Harvard University Press 1967