Constellation de nombres premiers

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En mathématiques, une constellation de nombres premiers aussi appelée n-uplet premier, est une suite de nombres premiers consécutifs dont la différence entre le premier et le dernier doit être la plus petite possible. Plus précisément, un n-uplet premier est une suite de nombres premiers consécutifs $p_1, p_2, \cdots ,p_n\,$ avec $p_n-p_1=s(k)\,$ où $s(k)\,$ est le plus petit nombre s pour lequel il existe k entiers $b_1<b_2<\cdots<b_k\,$ , $b_k-b_1=s\,$ et, pour chaque nombre premier q, les résidus modulo q ne sont pas tous représentés par $b_1, b_2, \cdots, b_k\,$ (Forbes). Pour chaque k, cette définition exclus un nombre fini de groupes au début de chaque suite de nombre premier. Par exemple, (97, 101, 103, 107, 109) satisfont aux conditions de la définition d'un 5-uplet de nombres premiers, mais pas (3, 5, 7, 11, 13) parceque tous les trois résidus modulo 3 sont représentés. (Forbes)

Un doublet de nombres premiers avec $s(2)=2\,$ est de la forme $(p, p+2)\,$ et est appelé une paire de nombres premiers jumeaux. Les doublets de nombres premiers de la forme $(p, p+4)\,$ sont appelés nombres premiers cousins, et les doublets de la forme (p, p+6) sont appelés des nombres premiers sexy.

Un triplet de nombres premier possède $s(3)=6\,$ . La constellation $(p, p+2, p+4)\,$ ne peux pas exister, excepté pour $p=3\,$ , puisqu'un des p, p+2, et p+4 doit être divisible par trois. Néanmoins, il existe plusieurs sortes de triplets de nombres premiers : $(p, p+2, p+6)\,$ , $(p, p+4, p+6)\,$ , $(p, p+6, p+12)\,$ .

Un quadruplet de nombres premiers est une constellation de quatre nombres premiers successifs ayant pour distance minimale $s(4)=8\,$ , et de la forme $(p, p+2, p+6, p+8)\,$ . La suite $s(n)\,$ , par conséquent commence par 2, 6, 8, et continue par 12, 16, 20, 26, 30, ... (Sloane's A008407). Une autre constellation de quadruplet est $(p, p+6, p+12, p+18)\,$ .

Hardy et Wright (1979, p. 5) conjecturent, et il semble presque certain que ce soit vrai, qu'il existe infiniment beaucoup de nombres premiers jumeaux $(p, p+2)\,$ et des triplets de la forme $(p, p+2, p+6)\,$ et $(p, p+4, p+6)\,$ .

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Catégorie : Nombre premier

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