Nombres premiers jumeaux

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En mathématiques, deux nombres premiers jumeaux sont deux nombres premiers qui ne diffèrent que de deux. Hormis la paire (2,3), il s'agit de la plus petite distance possible entre deux nombres premiers.

Parmi les nombres premiers jumeaux, on trouve 5 et 7, 11 et 13 ou 821 et 823.

Sommaire

1 Définition
2 Propriétés
3 Conjecture des nombres premiers jumeaux
4 Premiers premiers jumeaux
5 Plus grands premiers jumeaux
6 Voir aussi

[modifier] Définition

Soit $(p, q)$ un couple de nombres entiers tel que $p$ et $q$ soient tous les deux des nombres premiers et $p < q$ . On dit que $(p, q)$ forme un couple de nombres premiers jumeaux si $q = p + 2$ .

[modifier] Propriétés

En omettant le couple $(2,3)$ , 2 est la plus petite distance possible entre deux nombres premiers ; deux nombres premiers jumeaux sont ainsi deux nombres impairs consécutifs.

Tout couple de nombres premiers jumeaux (à l'exception du couple $(3,5)$ ) est de la forme $(6 n - 1,6 n + 1)$ pour un certain entier $n$ . Toute série de trois nombres entiers naturels consécutifs comporte au moins un multiple de 2 (éventuellement deux) et un seul multiple de 3 ; ces deux multiples sont confondus entre les deux nombres premiers jumeaux.

Il est possible de démontrer que, pour tout entier $m \ge 2$ , le couple $(m, m + 2)$ est constitué de nombres premiers jumeaux si et seulement si $4[(m-1)! + 1] + m \equiv 0 \mod m(m+2)$ . Cette caractérisation modulaire et factorielle des nombres premiers jumeaux a été découverte par P. A. Clement en 1949^[1].

La série des inverses de nombres premiers jumeaux est convergente vers la constante de Brun, au contraire de la série des inverses de nombres premiers.

[modifier] Conjecture des nombres premiers jumeaux

La conjecture des nombres premiers jumeaux affirme qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux. Bien que la plupart des chercheurs en théorie des nombres pensent que cette conjecture est vraie, elle n'a jamais été démontrée. Il existe également une version plus forte de cette conjecture : la conjecture de Hardy-Littlewood, qui fournit une loi de distribution des nombres premiers jumeaux et qui s'inspire du théorème des nombres premiers.

[modifier] Premiers premiers jumeaux

L'ensemble des nombres premiers jumeaux débute par :

(3, 5)	(5, 7)	(11, 13)	(17, 19)	(29, 31)
(41, 43)	(59, 61)	(71, 73)	(101, 103)	(107, 109)
(137, 139)	(149, 151)	(179, 181)	(191, 193)	(197, 199)
(227, 229)	(239, 241)	(269, 271)	(281, 283)	(311, 313)
(347, 349)	(419, 421)	(431, 433)	(461, 463)	(521, 523)
(599, 601)	(617, 619)	(641, 643)	(659, 661)	(809, 811)
(821, 823)	(827, 829)	(857, 859)	(881, 883)	...

[modifier] Plus grands premiers jumeaux

Le 15 janvier 2007, deux projets de calcul distribué, Twin Prime Search et PrimeGrid, ont découvert le plus grand couple de nombres premiers jumeaux actuellement connu (c'est à dire en janvier 2007). Le découvreur est le français Éric Vautier^[2].

Le couple record est 2003663613 × 2¹⁹⁵⁰⁰⁰±1 ; les deux nombres possèdent 58 711 chiffres en écriture décimale.

[modifier] Voir aussi

[modifier] Articles connexes

[modifier] Liens externes

(en) Twin Primes (Chris Caldwell)
(en) Introduction to Twin Primes and Brun's Constant (Xavier Gourdon, Pascal Sebah)
(en) Site de Primegrid. Projet de calcul réparti utilisant BOINC afin de rechercher des nombres premiers jumeaux.

[modifier] Références

↑ (en) P.A. Clement, Congruences for sets of primes, American Mathematical Monthly n° 56 (1949), pp. 23-25
↑ (en) [pdf] Twin Prime Search, communiqué officiel de la découverte du 15 janvier 2007 [1]