Continuité (mathématiques élémentaires)

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Mathématiques élémentaires

Algèbre

La continuité est une propriété très intuitive des fonctions numériques : on peut dire sans trop se tromper qu'une fonction est continue lorsqu'on peut tracer son graphique « sans lever le crayon », donc sans faire de « sauts ». On formalise cette notion à l'aide de l'outil des limites.

Sommaire

1 Fonction continue en un point
2 Continuité sur un intervalle
3 Dérivabilité et continuité
4 Algèbre des fonctions continues et composée de fonctions continues
5 Voir aussi

[modifier] Fonction continue en un point

On dit qu'une fonction $y = f (x)$ est continue en une valeur $a$ si et seulement si:
1) $f (x)$ est définie

2) $\lim_{ x\to a} f(x)$ existe

3) $\lim_{ x\to a} f(x) = f(a)$ .
Il est evident que si la condition 3) est satisfaite,les deux premières conditions le sont aussi.

Si cela est vrai uniquement à droite (pour $x > a$ ), on dit que $f$ est continue à droite en $a$ . De même à gauche pour $x < a$ .
Dire que $f$ est continue en $a$ revient à dire qu'elle l'est à droite et à gauche en $a$ .

[modifier] Continuité sur un intervalle

On dit que $f$ est continue sur $[a; b]$ si :
- $f$ est continue sur $] a; b [$
- la limite à droite de $f$ lorsque $x \to a$ vaut $f (a)$ et la limite à gauche de $f$ lorsque $x \to b$ vaut $f (b)$ .

[modifier] Dérivabilité et continuité

Toute fonction dérivable en un point ou sur un intervalle est également continue sur cet intervalle.
La réciproque est fausse

Corollaire : fonctions usuelles
Les fonctions polynômes, rationnelles (quotients de polynômes) et trigonométriques sont dérivables sur leurs intervalles de définition, et sont donc également continues sur ceux-ci.
De plus, on a continuité de la fonction racine carrée sur $[0;+\infty[$ et de la fonction valeur absolue sur $\R$ .

[modifier] Algèbre des fonctions continues et composée de fonctions continues

Par définition, f est continue en a si et seulement si $\lim_{x \to a}f(x) = f(a)$ .
Il résulte donc des théorèmes sur les limites les résultats suivants :

Algèbre des fonctions continues
Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un même intervalle $I$ . Alors :
- $\forall (\alpha ; \beta) \in \R^2 \alpha f + \beta g$ (combinaison linéaire)
- $f g$ (produit)
- $g \ne 0$ $\frac{f}{g}$ (quotient)
sont continues sur $I$ .

Composée de fonctions continues
Si $f$ est continue sur $I$ et $g$ est continue sur $f (I)$ alors $g \circ f$ est continue sur $I$ .