Convolution de Dirichlet

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

En mathématiques, la convolution de Dirichlet ou le produit de convolution de Dirichlet ou le produit de Dirichlet est une opération binaire définissant une loi de composition pour les fonctions arithmétiques; elle est très importante en théorie des nombres. Ceci fut développé par le mathématicien allemand Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Si f et g sont deux fonctions arithmétiques (i.e. des fonctions de nombres entiers positifs vers les nombres complexes), on définit une nouvelle fonction arithmétique $f * g\,$ , la convolution de Dirichlet de f et g, par

$(f*g)(n) = \sum_{d|n} f(d)g(n/d) \,$

où la somme est étendue sur tous les diviseurs positifs d de n.

Certaines propriétés générales de cette opération sont :

Si f et g sont toutes deux multiplicatives, alors nous avons $f * g\,$ . (Notons néanmoins que la convolution de deux fonctions complètement multiplicatives n'a pas besoin d'être complètement multiplicative.)
$f * g = g * f\,$ (commutativité)
$(f * g) * h = f * (g * h)\,$ (associativité)
$f * (g + h) = f * g + f * h\,$ (distributivité)
$f * \epsilon = \epsilon * f = f\,$ , où $\epsilon\,$ est la fonction définie par $\epsilon(n) = 1\,$ si $n = 1\,$ et $\epsilon(n) = 0\,$ si $n > 1\,$ .
Pour chaque f multiplicative, il existe une fonction g multiplicative telle que $f * g = \epsilon\,$ .

Avec l'addition et la convolution de Dirichlet, l'ensemble des fonctions arithmétiques forme un anneau commutatif avec l'identité multiplicative $\epsilon\,$ , l'anneau de Dirichlet. Les unités de cet anneau sont les fonctions arithmétiques f avec $f(1) \ne 0\,$ .

De plus, les fonctions multiplicatives avec la convolution forment un groupe abélien avec l'élément neutre $\epsilon\,$ . L'article sur les fonctions multiplicatives liste plusieurs relations de convolution parmi d'importantes fonctions multiplicatives.

Si f est une fonction arithmétique, on définit sa série L (série de Dirichlet) par

$L(f,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$

pour les arguments complexes s pour lesquels la série converge (s'il en existe). La multiplication des séries L est compatible avec la convolution de Dirichlet dans le sens suivant :

$L(f,s) L(g,s) = L(f*g,s)\,$

pour tous les s pour lesquels le coté gauche existe. Ceci est ressemblant au théorème de convolution si on pense aux séries L comme une transformation de Fourier.

Portail des mathématiques – Accédez aux articles de Wikipédia concernant les mathématiques.

Récupérée de « http://fr.wikipedia.org../../../c/o/n/Convolution_de_Dirichlet_b788.html »

Catégorie : Théorie des nombres

Convolution de Dirichlet

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Views

Navigation

Contribuer

Rechercher

Autres langues