Cryptomorphisme
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En mathématiques, on appelle cryptomorphique deux objets, et plus spécialement deux systèmes d'axiomes ou leurs sémantiques si et seulement si ils sont équivalents mais pas de manière évidente, mais ils peuvent l'être de manière informelle.
[modifier] Histoire
Le terme a été créé par Garrett Birkhoff avant 1967, dans la troisième édition de son livre lattice theory (treillis). Birkhoff n'y donne pas une définition formelle ; depuis, d'autres chercheurs de ce domaine ont alors tenté de lui donner un sens.
[modifier] Utilisation dans la théorie des matroïdes
Gian-Carlo Rota a popularisé le sens informel du terme avec une acception étendue dans le contexte de la théorie des matroïdes : il y a des douzaines d'approches axiomatiques des matroïdes, mais deux systèmes différents d'axiomes apparaissent souvent comme très différents.
Dans son livre Indiscrete Thoughts, Rota décrit la situation :
« Comme beaucoup d'autres grands idées, un américain, Hassler Whitney, a inventé la théorie des matroïdes . Son papier, qui est encore aujourd'hui la meilleure initiation sur ce sujet, révèle de manière flagrante la particularité unique de ce champ d'investigation, à savoir, la variété exceptionnelle de définitions cryptomorphiques pour un matroïde, inconfortablement sans liens entre elles et exhibant des pédigrés mathématiques totalement différents. C'est comme si l'on condensait toutes les tendances des mathématiques contemporaines dans une seule structure finie, un exploit que l'on pourrait considérer a priori comme impossible, sauf que les matroïdes existent réellement. »
Bien qu'il y ait beaucoup de concepts cryptomorphiques en dehors de la théorie des matroïdes et de l'algèbre universelle, le mot n'a pas connu de succès auprès des mathématiciens en dehors de ce champ (au désappointement probable de Rota). Il est néanmoins largement utilisé parmi les chercheurs en théorie des matroïdes.
[modifier] Références
- Birkhoff, G. Latice Theory, 3rd edition. American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXV. 1967.
- Crapo, H. and Rota, G-C., On the foundations of combinatorial theory: Combinatorial geometries. M.I.T. Press, Cambridge, Mass. 1970.
- Rota, G-C. Indiscrete Thoughts, Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA. 1997.
- White, N. Editor. Theory of Matroids, Encyclopedia of Math and it's applications, 26. Cambridge University Press, Cambridge. 1986.
