Distance d'un point à un plan dans l'espace cartésien
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Dans l'espace euclidien, les points peuvent être définis à l'aide de leurs coordonnées dites cartésiennes.
Soit le plan P et le point A dans l'espace cartésien. On appelle (xA,yA,zA) les coordonnées du point A et Ax + By + Cz + D = 0 l'équation représentative du plan P : alors la distance du point A au plan P, d vaut :
Demonstration:
Soit H: = (x,y,z) le projeté orthogonal de A sur P Soit N: = (A,B,C) un vecteur normal à P.
On a 
et 
donc on peut écrire (en termes de composantes):
(x − xA;y − yA;z − zA) = λ(A;B;C)
Ceci revient à résoudre le système suivant: 
La substitution de x, y et z dans la 4ème équation par leurs valeurs obtenues dans les 3 premières permet d'écrire:
A(λA + xA) + B(λB + yA) + C(λC + zA) + D = 0.
Ou encore:
AxA + ByA + CzA + D + λ(A2 + B2 + C2) = 0.
P étant un plan, A, B, C ne sont pas tous nuls: on a
Or, la distance de A à P, n'est autre que la longueur du vecteur 
; donc:
Ceci termine la preuve.
[modifier] Voir aussi
- La notion de distance en mathématiques
- la projection orthogonale
