Projection orthogonale

Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Cet article est une ébauche à compléter concernant l'algèbre, vous pouvez partager vos connaissances en le modifiant.

En mathématiques, la projection orthogonale est une transformation de l'espace, une application linéaire :

en géométrie plane, c'est une projection telle que les deux droites — la droite sur laquelle on projette et la direction de projection — sont perpendiculaires ;
en géométrie dans l'espace, c'est une projection telle que la droite et le plan — quels que soient leurs rôles respectif — sont perpendiculaires.

La projection orthogonale est un type de perspective très utilisée en dessin technique (géométrie descriptive), et en infographie : la génération des figures est simple, par contre, on ne peut pas représenter l'éloignement (la taille des objets ne varie pas avec la distance).

De manière plus générale, en algèbre linéaire, une projection orthogonale est un projecteur tel que les deux sous-espaces sont orthogonaux.

La projection orthogonale permet de résoudre le problème de la plus courte distance entre un point d'une part et une droite, un plan, ou plus généralement un sous-espace affine d'un espace euclidien d'autre part. On peut alors utiliser ce concept pour résoudre des problèmes de type «moindres carrés».

L'idée générale, basée sur le théorème de Pythagore, est que le problème de plus courte distance se ramène à une propriété d'orthogonalité.

Le fil à plomb est un outil qui permet de visualiser la projection orthogonale d'un point sur un plan (en première analyse du moins).

Sommaire

1 Dessin par projection orthogonale
2 Projection orthogonale en géométrie affine « élémentaire »
3 Projection orthogonale dans un espace vectoriel préhilbertien
4 Voir aussi
- 4.1 Articles connexes

[modifier] Dessin par projection orthogonale

Exemple de projection orthogonale sur un plan

Les projections orthogonales sont utilisées pour le dessin, notamment le dessin technique et les jeux vidéo. On distingue typiquement deux types de projections utilisées :

la géométrie descriptive : le plan de projection contient deux des axes du repère orthonormé direct ;
la perspective axonométrique : le plan de projection est distinct des plans sus-cités.

Voir ces articles.

[modifier] Projection orthogonale en géométrie affine « élémentaire »

[modifier] Projeté orthogonal sur une droite, distance

L'exemple le plus simple de projection se situe dans le plan usuel (affine euclidien) : la projection orthogonale d'un point A sur une droite (D), est le point H appartenant à (D) tel que les droites (D) et (AH) soient perpendiculaires. On utilise souvent l'expression «abaisser la perpendiculaire issue de A» pour la construction de H, qui peut se faire à la règle et au compas.

La distance AH est alors inférieure aux distances AM pour les autres points M de (D), strictement sauf si M=H.

Cette distance est appelée distance du point A à la droite D. Le calcul explicite peut se faire par l'application des formules de trigonométrie pour les triangles rectangles.

Le point A est sur la droite D si et seulement si il est égal à son projeté (A=H), ou encore si et seulement si sa distance à D est nulle.

[modifier] Projection orthogonale d'une droite sur une autre droite

Toujours dans le plan affine euclidien, on peut considérer deux droites sécantes (D) et (D') formant un angle θ. La projection orthogonale est l'application p qui à chaque point M de (D) associe son projeté orthogonal H=p(M) sur (D').

Le point d'intersection I est son propre projeté : p(I)=I.

Une propriété remarquable de la projection est la façon dont elle transforme les distances. Si M et N sont des points de (D) et M'=p(M), N'=p(N) leur projeté orthogonal respectif, on obtient M'N'=MN.cos θ.

Notamment on remarquera, par parité de la fonction cosinus, que projeter orthogonalement les éléments de (D) sur (D') multiplie toutes les distances par un facteur cos θ, mais projeter orthogonalement les éléments de (D') sur (D) multiplie toutes les distances par le même facteur.

[modifier] Projeté orthogonal sur un plan, distance

[modifier] Projection orthogonale dans un espace vectoriel préhilbertien

Les projections orthogonales sont des endomorphismes qui font partie de la classe plus générale des projecteurs, qu'on peut alors considérer, a contrario, comme des projections «obliques».

On se place dans un espace préhilbertien E, de dimension quelconque. On se donne un sous-espace vectoriel F de E. Le problème de projection orthogonale sur F peut être énoncé ainsi : peut-on décomposer un vecteur quelconque de E en une composante sur F et une composante orthogonale à F ? La réponse dépendra en fait de l'espace F considéré.

[modifier] Projection orthogonale sur une droite vectorielle

Si F est une droite vectorielle engendrée par le vecteur a, l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F est un hyperplan appelé hyperplan normal à F et défini par

$F^\perp = \{ h\in E, (h\cdot a)=0\}~$

Si x est un vecteur arbitraire de E, on peut toujours le décomposer de la façon suivante

$x=x_F+x_\perp$ avec $x_F = \frac{(a\cdot x)}{\|a\|^2} a$

Et on constate que $x F$ est dans F, tandis que $x_\perp=x-x_F$ est dans l'hyperplan normal à F.

Il est donc toujours possible d'effectuer une projection orthogonale sur une droite vectorielle.

[modifier] Existence d'une projection orthogonale

On peut donner un exemple d'espace F pour lequel la notion de projection orthogonale sur F n'a pas de sens. Ainsi si on considère l'espace $\mathbb R[X]$ des polynômes réels muni du produit scalaire usuel, et F l'hyperplan Vect( $1 + X,1 + X 2,...,1 + X n,...$ ), l'ensemble des vecteurs orthogonaux à F est réduit à {0}. On ne peut donc décomposer les éléments de E, autres que ceux de F, en un élément de F et un élément orthogonal.

Cet exemple est frappant : alors qu'une droite a toujours un supplémentaire orthogonal (unique d'ailleurs), un hyperplan peut très bien n'avoir aucun supplémentaire orthogonal. Il est difficile de faire un dessin convaincant pour une telle situation !

Plus généralement on a équivalence entre les propriétés suivantes

il existe une projection orthogonale sur F
F admet un supplémentaire orthogonal
$F^\perp$ est le supplémentaire orthogonal de F

Ceci montre au passage que le supplémentaire orthogonal, s'il existe, est unique.

[modifier] Deux cas d'existence importants

On peut généraliser la formule de projection sur une droite si F est de dimension finie. En effet, en considérant une base orthonormale $(e 1,..., e n)$ de F, on exhibe la décomposition

$x=x_F+x_\perp$ avec $x_F = \sum_{i=1}^n (e_i\cdot x) e_i$

Attention à ne pas appliquer cette formule avec une base quelconque !

si E est un espace de Hilbert et F un sous-espace vectoriel fermé, alors on peut appliquer un théorème général de projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert.

[modifier] Minimisation de la distance

Si le sous-espace F admet un supplémentaire orthogonal et si x est un point de E, le projeté orthogonal p de x sur F vérifie la propriété de minimisation suivante

$\forall f \in F, \|x-p\|\leq \|x-f\|~$