Division harmonique
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[modifier] Points en division harmonique
Définitions : quatre points distincts alignés A, B, C, D sont en division harmonique si et seulement si on a l'une des quatre relations équivalentes : 
;
relation de Descartes : 
;
relation de Newton : 
où I est le milieu de [AB] ;
relation de Mac-Laurin : 
où J est le milieu de [CD].
[A, B, C, D] forme une division harmonique et on note le birapport [A, B, C, D] = -1.
Voir aussi : rapport anharmonique
[modifier] Polaire d'un point par rapport à deux droites
Définition : étant donné deux droites d et d' et deux points M et M' distincts non situés sur ces droites, la droite (MM') rencontre respectivement d et d' en P et P' distincts.
On dit que M et M' sont conjugués harmoniques par rapport à d et d' si [M, M', P, P'] forme une division harmonique.
Définition : étant donné deux droites d et d' distinctes et concourantes en un point I du plan affine et un point M non situé sur ces droites, l'ensemble des conjugués harmoniques du point M par rapport à d et d' est une droite passant par I.
On l'appelle la polaire de M par rapport à d et d' .
Construction de la polaire : étant donné deux droites d et d' , concourantes en un point I, et un point M non situés sur ces droites, placer deux points P et Q, distincts et différents de I, sur d et tracer les deux droites (MP) et (MQ). Ces droites coupent d' respectivement en P' et Q'. On obtient le quadrilatère complet MPP'Q'QI. Ses diagonales Δ = (PQ') et Δ' = (P'Q) se coupent en J. La droite (IJ) est la polaire de M par rapport à d et d'.
Démonstration : si M1 est le conjugué de M par rapport à P et P' et M2 le conjugué de M par rapport à Q et Q', la polaire de M par rapport à d et d' est la droite (M1M2) ; les points I, M1 et M2 sont alignés.
De même la polaire de M par rapport à Δ et Δ' est la droite (M1M2) ; les points J, M1 et M2 sont alignés et la polaire de M par rapport à d et d' est la droite (IJ).
