Fibration
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En topologie différentielle, une fibration est un ensemble où :
- E est un espace topologique, appelé espace fibré (parfois également : espace total). C'est intuitivement un espace qui est localement le produit de deux espaces, mais en général pas globalement.
- X est un espace topologique appelé espace de base.
- Π est une projection de E vers X. Elle est parfois appelée pied.
- F est un espace topologique appelé fibre.
- G est un groupe d'homéomorphismes agissant sur la fibre F.
Sommaire |
[modifier] Trivialisation locale
Pour mettre en évidence le caractère localement trivial du fibré E, on suppose que l'espace de base X admet un recouvrement par des ouverts Uα muni d'un système de coordonnées. Plus précisément, à chaque ouvert Uα est associé un homéomorphisme φα :
dont l'inverse vérifie :
[modifier] Action du groupe de structure
L'action du groupe G est mise en évidence lors d'un changement de coordonnées. Effectuer un tel changement de coordonnées consiste à passer de la collection initiale (φα,Uα) à un nouveau système (φβ,Uβ).
Considérons alors deux ouverts Uα et Uβ, appartenants respectivement à la première et à la seconde collection, dont l'intersection est non-vide : . Alors, l'application composée est une application continue inversible :
Si l'on fixe et qu'on fait varier seulement , l'application précédente se réduit à un homéomorphisme de F dans F. Elle est alors appelée fonction de transition, notée gαβ(x) :
telle que :
L'ensemble de tous ces homéomorphismes gαβ(x) pour tous les choix possibles de systèmes de coordonnées (φα,Uα) forme un groupe, qui est précisément le groupe G de la définition du fibré.
[modifier] Fibré différentiel
Un fibré différentiel est une fibration (E,X,Π,F,G) où les trois espaces (E,X,F) sont des variétés différentielles.
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[modifier] Articles connexes
- Topologie différentielle
- Géométrie différentielle
- Fibré vectoriel
- Fibré tangent
- Fibré cotangent
- Théorie de jauge
- Fibration de Hopf
[modifier] Bibliographie
- Boris Doubrovine, Sergueï Novikov & Anatoli Fomenko ; Géométrie contemporaine - Méthodes & applications - Deuxième partie : Géométrie et topologie des variétés, Mir (1982).
[modifier] Ouvrages de mathématiques pour physiciens théoriciens
- Theodore Frenkel ; The Geometry of Physics - An introduction, Cambridge University Press (1997), ISBN 0-521-38753-1.
- Mikio Nakahara ; Geometry, Topology ans Physics, Institute of Physics Publishing (1990), ISBN 0-85274-095-6.
- Charles Nash & Siddharta Sen ; Topology & Geometry for Physicists, Academic Press (1983), ISBN 0-12-514080-0.
- Yvonne Choquet-Bruhat & Cécile deWitt-Morette ; Analysis, Manifolds & Physics - Part I: Basics, North-Holland/Elsevier (2ème édition révisée - 1982), ISBN 0-444-86017-7.
[modifier] Notes
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