Forme volume

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En topologie différentielle, une forme volume généralise la notion de déterminant aux variétés différentielles. Elle définit une mesure sur la variété, permet le calcul des volumes généralisés et la définition générale des orientations.

Une forme volume se définit comme une forme différentielle de degré maximal, nulle en aucune point. Une variété peut n'avoir aucune forme volume, ou une infinité. Doter une variété d'une structure supplémentaire (riemannienne, symplectique ou autre) permet de construire une forme volume canoniquement associée.

Sommaire

1 Définition
- 1.1 Orientation et mesure associées
2 Volume riemannien
3 Forme volume en géométrie symplectique
4 Voir aussi

[modifier] Définition

Soit M une variété différentielle de dimension n. Une forme volume est une section de la n-ème puissance extérieure $Λ n M$ du fibré cotangent, nulle en aucun point.

Si ω est une forme volume, alors les formes différentielles de degré n sont toutes de la forme f.ω, avec f une fonction numérique.

[modifier] Orientation et mesure associées

Article détaillé : Orientation (mathématiques).

Une variété est orientable si et seulement si elle admet une forme volume. Choisir une orientation revient à choisir une forme volume. Une base de l'espace tangent en x à la variété est directe quand la forme volume, évaluée sur les vecteurs de base, donne un résultat positif.

La mesure associée à la forme volume ω est définie sur les éléments de la tribu borélienne par

μ_ω(U) =	∫	\| ω \|
	U

L'expression de cette mesure est identique que l'on utilise la forme volume ω ou son opposée.

Les mesures de volume peuvent être étendues en introduisant une forme affaiblie de la forme volume, qualifiée de pseudo-forme volume. Il existe une pseudo-forme volume sur toute variété, et si ω est une forme volume, |ω| est une pseudo-forme volume.

[modifier] Volume riemannien

Une variété riemannienne orientable $(M, g)$ possède une unique $n$ -forme différentielle $ω$ telle que, pour toute base orientée $(e_1,\dots,e_n)$ d'un espace tangent $T x M$ , on ait :

$\omega(e_1\wedge\dots\wedge e_n)=1$

Dans toute carte orientée $x=(x_1,\dots,x_n)$ , cette forme volume $ω$ s'écrit :

$\omega = \sqrt{|\det g|} \, dx^1\wedge ... \wedge dx^n$

où $det g$ désigne le déterminant de $g$ .

Cette forme volume définit une unique mesure $μ$ , appelée mesure riemannienne sur $M$ définie par :

μ(f) =	∫	f.ω
	M

L'orientabilité de la variété est centrale pour l'existence d'une forme volume. Cependant, elle est superficielle dans l'existence d'une mesure riemannienne sur $(M, g)$ . Voici deux manières équivalentes de le voir :

Il existe un revêtement double $p:N\rightarrow M$ tel que la variété $N$ soit orientable. La métrique riemannienne $g$ sur $M$ se relève en une unique métrique riemannienne abusivement notée $g$ , telle que $p$ soit une isométrie locale. Le discours ci-dessus donne une mesure $μ$ sur $N$ . La mesure $ν: = p * μ$ est appelée mesure riemannienne de $(M, g)$ .

Sans faire appel à la topologie algébrique, on se contente de définire la mesure $ν$ en restriction aux cartes locales : cela est suffisant par un argument de partition de l'unité. Pour toute carte locale $x:U=B(0,1)\rightarrow M$ , et pour toute fonction $f$ à support compact inclus dans $x (U)$ , on pose :