Groupe ordonné

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En algèbre générale, un groupe ordonné est la donnée d'une ensemble $\mathcal{G}$ , muni d'une loi de composition interne (notée $\star$ dans l'article) lui conférant une structure de groupe, et d'une relation d'ordre (notée $\leq$ dans l'article) compatible avec la loi de groupe.

Sommaire

1 Définition de la compatibilité de l'ordre avec la loi de groupe
2 Propriétés
3 Groupe totalement ordonné
4 Exemples
5 Voir aussi

[modifier] Définition de la compatibilité de l'ordre avec la loi de groupe

Plus précisément, avec les notations précédentes, on dit que la relation d'ordre $\leq$ est compatible avec la loi $\star$ si, pour tous éléments $x$ , $y$ et $g$ du groupe $\mathcal{G}$ , la relation $x\leq y$ entraîne les relations $g\star x\leq g\star y$ et $x\star g\leq y\star g$ .

[modifier] Propriétés

Dans un groupe ordonné $\mathcal{G}$ , pour tous éléments $x$ , $y$ , $x'$ et $y'$ , les inégalités $x\leq y$ et $x'\leq y'$ entraînent l'inégalité $x\star x'\leq y\star y'$ .

En clair, on peut composer membre à membre des inégalités de même sens. En effet, d'après la définition, l'inégalité $x\leq y$ entraîne $x\star x'\leq y\star x'$ . De même, l'inégalité $x'\leq y'$ entraîne $y\star x'\leq y\star y'$ . On conclut par transitivité de la relation d'ordre.

Dans un groupe ordonné $\mathcal{G}$ , pour tous éléments $x$ et $y$ d'inverses respectifs, pour la loi $\star$ , $x - 1$ et $y - 1$ , l'inégalité $x\leq y$ entraîne l'inégalité $y^{-1}\leq x^{-1}$ .

En clair, on peut passer à l'inverse dans une inégalité en en changeant le sens. Pour le voir, il suffit, dans l'inégalité $x\leq y$ , de composer par $y - 1$ à gauche et par $x - 1$ à droite.

[modifier] Groupe totalement ordonné

On appelle groupe totalement ordonné un groupe ordonné dont la relation d'ordre est totale.

[modifier] Exemples

Le groupe additif $(\mathbb{Z},+)$ des entiers relatifs, muni de la relation d'ordre habituelle, est un groupe abélien totalement ordonné.

Le groupe multiplicatif $\left(\mathbb{R}_+^*,\times\right)$ des réels strictement positifs est un autre groupe abélien totalement ordonné.

Mais le groupe multiplicatif $\left(\mathbb{R}^*,\times\right)$ des réels non nuls n'est pas un groupe ordonné. En effet, on a par exemple $-2\leq 2$ , mais en passant à l'inverse, on a $\frac{1}{2}>-\frac{1}{2}$ . Cela est à relier au fait que la fonction inverse est décroissante sur $\mathbb{R}_+^*$ , mais pas sur $\mathbb{R}^*$ tout entier.