Fonction inverse

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Mathématiques élémentaires

Sommaire

1 Présentation
2 Variations
3 Dérivée de la Fonction Inverse
- 3.1 Vérification
4 Représentation Graphique
5 Primitive de la fonction inverse

[modifier] Présentation

En mathématiques, la fonction inverse est définie de la manière suivante :

$\begin{matrix}f: & \mathbb{R}^*\to\mathbb{R}^*\\ & x\mapsto y=\frac{1}{x}\\\end{matrix}$

[modifier] Variations

Strictement décroissante sur l'ensemble des réels strictement négatifs, puis strictement décroissante sur l'ensemble des réels strictement positifs, avec 0 comme valeur interdite.

L'hyperbole admet deux asymptotes : une horizontale et une verticale.

Cette fonction n'admet pas de racine, ni de maximum ou minimum.

La fonction inverse est impaire.

[modifier] Dérivée de la Fonction Inverse

La dérivée de la fonction inverse est la fonction f' définie par: $\begin{matrix}f': & \mathbb{R}^*\to\mathbb{R}^*\\ & x\mapsto y=\frac{-1}{x^2}\\\end{matrix}$ .

[modifier] Vérification

La dérivée de $y = \frac{1}{x}$ au point d'abscisse 1 vaut $\frac {-1}{1^2} = -1$ $\Rightarrow$ Pente de la tangente à la fonction inverse au point (1,1) vaut -1.

[modifier] Représentation Graphique

A l'aide du graphique, il devient facile de repérer les deux types d'asymptotes présentes dans cette fonction: - une asymptote verticale, qui a pour équation : $AV \equiv x=0$ ; - une asymptote horizontale, qui a pour équation : $AH \equiv y=0$ .

[modifier] Primitive de la fonction inverse

La primitive de la fonction inverse est la fonction Logarithme Népérien définie par: $\begin{matrix}F: & ]0;+\infty[\rightarrow\mathbb{R}\\ & x\mapsto y=\ln x\\\end{matrix}$ .