Identités logarithmiques

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Voici une liste d'identités utiles lorsqu'on travaille avec les logarithmes. Toutes sont valables à condition que les réels utilisés (a, b, c et d) soient strictement positifs. En outre, les bases des logarithmes doivent être différentes de 1.

Sommaire

1 Valeurs particulières
2 Multiplication, division et exponentiation
3 Réciprocité
4 Changement de base
5 Limites
6 Dérivée
7 Primitive

[modifier] Valeurs particulières

$\log_a1 = 0\,$
$\log_aa = 1\,$

[modifier] Multiplication, division et exponentiation

$\log_c(a\cdot b) = \log_ca + \log_cb\,$
$\log_c\left(\frac{a}{b}\right) = \log_ca - \log_cb\,$
$\forall r\in\R,\ \log_c(a^r) = r\cdot\log_ca\,$

Ces trois identités nous permettent d'utiliser des tables de logarithme et des règles à calcul; connaissant le logarithme de deux nombres, nous pouvons les multiplier et diviser rapidement, ou aussi bien calculer des puissances ou des racines de ceux-ci.

[modifier] Réciprocité

$a^{\log_ab} = b\,$
pour tout nombre réel r, $\log_a (a^r) = r\,$

Les formules précédentes sont utilisées pour résoudre des équations dont les inconnues sont en exposant.

[modifier] Changement de base

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}\,$

Cette identité est utile pour calculer des logarithmes avec des machines à calculer, car la plupart des ces dernières ne proposent que les logarithmes décimaux et naturels.

$\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb$

Démonstration

[modifier] Limites

$\lim_{x\to 0} \log_a x = -\infty\,$ pour

a > 1

$\lim_{x\to 0} \log_a x = +\infty\,$ pour

0 < a < 1

$\lim_{x\to+\infty} \log_a x = +\infty\,$ pour

a > 1

$\lim_{x\to +\infty} \log_a x = -\infty\,$ pour

0 < a < 1

$\lim_{x\to 0}\ \log_a (x)\cdot x^b = 0\,$

$\lim_{x\to +\infty} \frac{\log_a x}{x^b} = 0\,$

La dernière limite est souvent interprétée comme « en l'infini le logarithme croît plus lentement que toute puissance (strictement positive) de la variable ».